3238

Почему нельзя делить на ноль?2

Регулярно вижу споры о том, почему же на разные числа делить можно, а на ноль - нельзя. Очень часто "объяснения" являются ничем иным, как домыслом рассказчика. Поэтому хочу поделиться своей точкой зрения. Я изучал математику на мехмате МГУ, потом работал в Институте Прикладной Математики, имею несколько научных статей в области математики - поэтому считаю себя достаточно компетентным для ответа на этот вопрос.

Вообще ответ очень простой: нельзя делить на ноль, потому что математики между собой так договорились. Но договорились не потому что "нам так хочется", а потому что иначе не получается построить консистентную непротиворечивую теорию. Чтобы понять, как так вышло, надо прояснить несколько моментов.

Во-первых, математика основывается на аксиомах. Аксиома - это некая договорённость между людьми о том, что считается "правильным", истинным, без доказательств. Любая теорема в математике будет опираться на набор аксиом, т.е. набор фактов, которые все договорились считать верными. Важно заметить, что аксиоматика (набор аксиом) может быть разной. И какие-то теоремы можно доказать в одной аксиоматике, но опровергнуть в другой. Обычно в школе говорят про аксиомы планиметрии, но аксиомы есть и в других областях. Например, почему 2 + 3 = 5? Потому что люди так договорились. Не потому что в этом есть какой-то сакральный или физический смысл, а только по той причине, что люди так договорились. Это и называется аксиома - люди договорились что-то считать верным, потому что на основе этих фактов можно построить понятную и удобную систему. Так вот, для привычных всем натуральных чисел тоже есть аксиомы: Аксиомы Пеано. Эти аксиомы рассказывают, что мы умеем считать предметы и (как следствие) складывать натуральные числа.

Но этого мало для удобного пользования числами. Вот у тебя 5 яблок, ты отдал три яблока - сколько осталось? Хочется уметь записывать эту операцию, поэтому придумали вычитание. А заодно и ушли от натуральных чисел к целым. Если говорить языком алгебры, то мы подходим к Абелевым группам. В них мы считаем, что на самом-то деле у нас есть только одна операция: сложение. Но на каждый элемент у нас есть противоположный элемент. И вычитание - это просто прибавление противоположного элемента. Т.е. когда мы пишем 5 - 3, на самом деле это 5 + (-3). Но это всё как-то "на пальцах", а если формально - что такое "противоположный элемент"? Для этого сначала определим, что у нас есть "нейтральный элемент" - такое число, сложение с которым ничего не меняет. Т.е. для привычных нам целых чисел нейтральным элементном будет число 0. И вот если есть число X, то противоположное для него - это такое число, что если к нему прибавить Х, то получится 0. Для привычных нам целых чисел это -Х.

В процессе развития цивилизации становится понятно, что сложения и вычитания не хватает для нужд человечества, люди придумывают умножение и деление. В терминах алгебры это... всё та же Абелева группа (её часто называют мультипликативной группой). И если у нас не будет числа 0, то все те же аксиомы работают прекрасно: у нас есть числа (теперь уже не целые, а рациональные, т.е. дроби), есть какая-то операция (умножение) и есть даже нейтральный элемент. Для умножения нейтральным элементом будет число 1. Потому что при умножении на 1 число не изменяется. И деление - это ничто иное, как умножение на обратный элемент. Т.е. для любого Х мы хотим найти такое число, что вот мы его умножили на Х и получим единицу. Например, для числа 2 обратным будет число 0.5, потому что 2 * 0.5 = 1.

Тут мы и подобрались к ответу на вопрос. Дело в том, что с учётом всех аксиом, которые мы договорились использовать, деление на ноль - это на самом деле умножение на элемент, обратный нулю. Т.е. нам бы надо найти такое число Х, которое можно умножить на 0 и получить 1. Таких чисел у нас нет. Почему? Потому что вещественные числа являются полем и подчиняются Аксиомам вещественных чисел, из которых можно доказать (если кому интересно доказательство - напишу в комментах), что для любого Х всегда Х*0 = 0. Получается, что у нуля просто нет обратного элемента в силу тех аксиом, которыми мы договорились пользоваться. У всех чисел есть, а у нуля - нет. Поэтому и делить на него не получится.

Сразу возникает вопрос: а что будет, если мы возьмём другие аксиомы? Мы же можем придумать специальный элемент, который будет обратным к нулю? Конечно, можем. Вопросами разных "числовых структур" занимается алгебра, и существуют, например, "расширенное множество вещественных чисел", в котором есть ещё и элементы, отвечающие за бесконечность. Но вот беда - с этими элементами аксиомы перестают выполняться и большинство теорем, которые доказаны для привычных чисел - перестают быть верными для такого "расширенного" множества. И привычная нам бытовая логика уже не работает.

TL;DR

Делить на ноль "нельзя", т.к. это не укладывается в общепринятые аксиомы работы с числами, а говоря проще - потому что люди так договорились. Если "передоговориться", т.е. выбрать другой набор аксиом - на ноль будет можно делить, но много привычных теорем перестанут быть корректными, а значит и результаты таких вычислений не получится применять на практике.

Споры о науке

390 постов1.6K подписчиков

Правила сообщества

Уважайте оппонентов и аргументируйте свои доводы. Ссылки на соответствующую литературу приветствуются.

Вы смотрите срез комментариев. Показать все
Автор поста оценил этот комментарий

Если в доказательстве хотя бы один переход неверный то это доказательство неверно.

Деление это не умножение на обратный элемент. Да в полях это верно но в полях ноль просто прямо в определении исключен из определения обратного.

Деление определено не только в полях и это вполне изучают в школе.

К примеру натуральные числа - есть операция умножения которая определена для любой пары чисел. Но элемент обратный по умножению есть только для единицы. Тем не менее без проблем можно разделить 20 на 10. Более того единица даже не обязана существовать - к примеру кольцо четных целых чисел.

По факту деление А на B это решение уравнения B*x=A нет ничего плохого когда уравнение неразрешимо при данных A и B, не страшно если для некоторых решение неоднозначно - это норма в кольцах вычетов. Но ноль дает только тривиальные решения просто по определению ноля

раскрыть ветку (1)
2
Автор поста оценил этот комментарий

Я вроде как согласен с вашими высказываниями по отдельности, но такое ощущение, что вы просто придираетесь. Хотя пример про отсутствие единицы в кольцах мне понравился.

Вы смотрите срез комментариев. Чтобы написать комментарий, перейдите к общему списку