Метод размерностей. Часть первая⁠⁠

Как и обещал, мои дорогие подписчики, выкладываю первую часть цикла статей о простой непростой физике.

Изначально я хотел написать краткий цикл статей о физике без формул, но в этой первой теме без них совсем никак.

Я также решил разбить этот материал на 2 части, ибо много всего есть.

Поэтому, дорогие гуманитарии, заранее прошу прощения:)

Для понимания происходящего в 1 части надо знать, в чем измеряются физические величины, такие как сила(Н), масса(кг), скорость(м/с) и длина(м).

Периодически в физике встречаются задачи, природа которых совсем не ясна или очень сложна.

Иногда не удается написать даже точного уравнения, а иногда оно оказывается нерешаемым, как например уравнение Навье-Стокса.

Что физики делают в условиях полной неизвестности, когда все остальные методы проваливаются?

Правильно: используют не очень деликатные, но очень эффективные методы.

У физиков есть несколько "путеводных звезд", которые никогда не гаснут и всегда помогают проверить, не фигню ли сморозил.

Примечательно, что этот же метод применим во всех естественных науках: биологии, химии, иногда даже в экономике... Но не в математике.

Матфизику в рассмотрение не берем потому, что это как морская свинка: и к морю не имеет прямого отношения, и к свиньям.

Метод размерностей как раз является одной из таких путеводных звезд.

У него есть две трактовки: физическая и, как ни странно, математическая. Да, "всё смешалось в доме науки".

Так что же это за чудесный метод такой?

Для начала покажу физическую интерпретацию. Если кратко, то он заключается в присвоении величинам размерностей и проверке, что в левой и в правой частях приписанные размерности совпадают.

Кто из нас знаем аэродинамику? Дай бог, один читатель найдется. Сразу скажу, я ее не знаю, но могу показать, как легко и просто выводятся некоторые формулы при помощи метода размерностей.

Предположим, что брат спросил тебя, как ведет себя сила сопротивления воздуха по отношению к какому-то телу при разных скоростях.

Что мы имеем?

1)

- В чем сила, брат? - спросил тебя брат. - Думаешь, в деньгах сила? Нет, сила в Ньютонах! А что такое Ньютон?

- Ньютон - это кг*м/с^2.

2) мы знаем, что как-то должна участвовать скорость (v) тела относительно воздушного потока. Скорость измеряется в м/с.

3) мы знаем, что вся эта конструкция будет двигаться в воздухе, плотность (rho) которого измеряется в кг/м^3.

4) мы примерно имеем представление, что чем больше тело, тем больше будет оказываемая на него сила. Примерно поэтому супермен летает с кулаком впереди и ветром в лицо, а не гордо встречает грудью всё сопротивление воздуха. Это значит, что как-то будет влиять площадь поперечного сечения (S). А площадь измеряется в м^2.

Итак, что мы имеем? Что слева должна стоять сила и она измеряется в кг*м/с^2, а справа надо соорудить точно такую же размерность. Поехали!

1) килограммы есть только в плотности, значит, она будет в 1 степени. После деления размерностей из левой части на правую останется: кг*м/с^2 * м^3/кг = м^4/с^2

2) секунды есть только в скорости. Значит, что скорость должна быть в квадрате. Имеем: м^4/c^2 / (м/c)^2 = м^2

3) Ну а площадь поперечного сечения и есть м^2. Значит, сила сопротивления будет прямо пропорциональна площади.

Из всего этого собираем, что F = C * rho * S * v^2, где C - какая-то безразмерная постоянная. Всё, силу сопротивления среды мы получили, не зная об аэродинамике вообще ничего.

Вопрос о том, на каком диапазоне скоростей эта формула верна, пока оставим открытым. В аэродинамике она верна на очень большом диапазоне скоростей. В гидродинамике всё куда хуже - там секунды помимо скорости входят еще и в вязкость жидкости, из-за чего возможен вариант, когда сила сопротивления пропорциональна модулю скорости. Окей, Calm down. Первая часть математики закончена.

Есть пара логичных правил для метода размерностей:

1) складывать можно только величины одной размерности. Например, м+кг или с+с^2 являются некорректными, а м/с+м/с является корректным выражением.

2) сложные функции можно брать только от безразмерных величин. Потому что sin(кг) - это бред собачий.

2а) исключением может быть только логарифм. Например, ln(E/E0)=ln(E)-ln(E0). В левой части безразмерная величина, а в правой разница логарифмов от размерных величин. В таких случаях проблем не возникает, если пользоваться всегда строго одной системой измерений (например, СИ).

При помощи этого метода очень легко проверять формулы на правильность, особенно если перед тобой формула длиной в один лист А4, и нет никакого желания лезть в выкладки. Можно просто проверить на каждом листе рандомно по одной формуле и с очень большой долей вероятности быть уверенным в правильном ответе, затратив очень мало времени.

Почему в математике с ним сложно? Вот есть, например, уравнение единичной окружности x^2+y^2=1. В правой части безразмерная величина, значит, и в левой величина безразмерная. Здесь размерности просто-напросто вводить некуда. С другой стороны, если уравнение окружности выглядит как x^2+y^2=R^2, то размерности появляются. И пусть они будут хоть метрами, хоть джоулями, но x, y и R должны иметь одну и ту же размерность. Вот так в математике почти со всеми уравнениями.

Теперь о приложениях в разных отраслях.

Если взять, например, экономику, то там иногда мелькают курсы валют типа USD/RUB.

По факту наименования валют - это и есть размерности.

И если вдруг внезапно где-то оказывается USD^2/RUB, то где-то раньше надо искать ошибку, или объяснять, откуда взялась такая размерность.

В биологии же можно придумать аналогичные размерности а'ля самец/самка, кг/человек, Рентген/кг, и т.д.

Химия близка к физике и ее освещать я не буду. Скажу только, что ко всем величинам добавляется моль, а правила останутся теми же.

В следующем посте формулы будут выглядеть совсем дико, но не отчаивайтесь - мы будем смотреть совсем на другое:)