Большие числа

Автор этой заметки не имеет отношения к математике. Изложение теоретических положений адаптировано под мышление гуманитария и не претендует на научность.

Эдвард Казнер в 1938 году попытался объяснить бесконечность и придумал большое число. Затем он попросил своего 9-летнего племянника придумать этому числу название. Так появился гугол: 10100 = 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.

В этом числе 100 нулей. Размер этого числа будет легче представить с учетом того, что обозримая Вселенная состоит из 1080 частиц, т. е. единица с 80 нулями. Гугол, несомненно, больше этого числа. В обозримой Вселенной поместилось бы 1090 песчинок. Но и это число меньше числа гугол. Если взять куб с планковской шириной (т. е. 10−23 м), то в обозримой Вселенной поместится 10123 штук таких кубов. Это число уже больше числа гугол.

Казнер тоже задумался над тем, какое число может быть больше, чем гугол. Таким числом является гуголплекс: 1010100

Перед нами число 10, возведенное в степень гугол, т. е. помноженное на само себя гугол количество раз. Мы не смогли бы записать это число на бумаге и даже на частицах всей обозримой Вселенной.
А что если бы наша Вселенная была бы по площади равна гуголплексу? Если мы будем находиться в такой Вселенной и улетим достаточно далеко, то неизбежно встретим своего точного двойника. Почему?

Объем тела человека занимает определенное количество квантовых состояний. Оно равно 101070. Столько уникальных состояний занимает наше тело в пространстве: неважно, что находится в нем — собака, стол, машина и т. д. Имеются в виду все возможные комбинации частиц. Но т. к. 101070 < 1010100, то если удалиться от себя на гуголплекс метров, то можно будет увидеть копии самого себя, т. к. закончатся уникальные комбинации атомов и частиц, а дальше — будет повторяться и сама Вселенная.

Размер обозримой Вселенной, известный науке, составляет (1026 м)3. Если Вселенная больше, то наличие двойника в ней математически неизбежно.

Число гуголплекс кажется сейчас очень большим. Но оно в гуголплексы раз меньше песчинки относительно действительно больших чисел. О них мы и поговорим сейчас.

Существует известный парадокс Зенона. Он основан на том, что любой отрезок можно поделить пополам. Соответственно, если это так, то получившуюся половину отрезка тоже можно поделить пополам, потому что она тоже является отрезком и так далее до бесконечности. Так, например, получается, что полет стрелы в воздухе бесконечен, поскольку бесконечен процесс деления ее пути. Графически этот парадокс можно изобразить следующим образом:

Изобразим этот парадокс математически:

Удивительно то, что левая часть продолжается бесконечное количество раз, поскольку бесконечно деление, и каждая часть составляет половину от предыдущей. И несмотря на это бесконечное число слагаемых, их сумма конечна и равна единице. Уравнение вида ∞ = 1 кажется нам абсурдным.

В этом псевдонаучном парадоксе таится один важный момент: не существует неупорядоченной структуры. В 1928 году Фрэнк Рамсей — английский математик — доказал, что неупорядоченная структура невозможна. Теория Рамсея основана на подсчете того, сколько элементов должно входить в множество для того, чтобы они образовали упорядоченную структуру.

Например, n кроликов рассажены в m клеток. Вопрос: чему должно быть равно n, чтобы в каждой из клеток было гарантированно минимум 2 кролика, т. е. m ≥ 2? Согласно принципу Дирихле, если n > m, то найдется хотя бы одна клетка, в которой будет минимум 2 кролика. Что делает теория Рамсея с этой задачей? Она обобщает ее в поисках универсального ответа. Только оперирует она не ячейками с кроликами, а графами. Наблюдения над графами и позволяют увидеть единый принцип самоорганизации любых суперсложных систем, таких как Вселенная.

Задача Рамсея состоит в следующем. На вечеринке присутствует множество людей. Какое количество людей достаточно для того, чтобы образовать группу, в которой всегда окажется либо четверо людей знакомых друг с другом, либо четверо незнакомых друг с другом?

В общем виде теория Рамсея звучит так. Если число объектов в совокупности достаточно велико и каждые 2 объекта связывает одно из набора отношений, то всегда существует подмножество данной совокупности, содержащее заданное число объектов, и при этом такое, что в нем всё объекты связаны отношением одного типа. Впервые это утверждение было доказано Рамсеем в 1928 году.

Еще один частный случай теории Рамсея. Задача следующая. Есть n-мерный куб, все вершины которого соединены отрезками красного и синего цветов (цвет выбирается в случайном порядке). Вопрос: чему должно быть равно n для того, чтобы мы получили раскрашенный в один цвет полный подграф с четырьмя вершинами, все из которых лежат в одной плоскости?

Первое решение этой задачи предложили в 1971 году. В 2003 году результат был скорректирован. Он выглядит следующим образом: 13 ≤ n ≤ G. Т. е. все возможные решения этой задачи лежат в промежутке между 13 и числом Грэма. И число Грэма нас и будет интересовать. Это по-настоящему огромное число.

Почему это огромное число стало решением задачи Рамсея? Да потому, что у куба много n-размерностей: двухмерный, трехмерный (знакомый нам всем), четырехмерный, пятимерный и так далее. Но это не бесконечное число. Решение заканчивается неким большим числом G, которое и было названо числом Грэма. Оно настолько большое, что традиционные способы записи чисел нам тут не помогут и нужно вводить альтернативные способы записи числа. Попробуем это сделать.

Как мы обычно возводим число в степень? Попробуем представить это возведение при помощи стрелочки:

Что будет, если мы напишем две стрелочки?

Мы всего лишь добавили одну стрелочку. И посмотрите, как подскочил результат: с одной было 27, а теперь 7,6 триллионов. Но это ведь не предел, не так ли?

Высота получившейся «башни» из троек равна 7,6 триллионам. Записать даже эту «башню» уже невозможно, а уж само число тем более. Если учесть размеры одной тройки на вашем мониторе, то «башня» бы получилась до Марса (без преувеличений). Это не расстояние от Земли до Марса! Это расстояние, которое заняла бы «башня» такой высоты. Поздравляю. Мы только что переплюнули гуголплекс. Посчитать даже пару метров такой «башни» не способен никакой компьютер на планете, а она тянется на множество километров…

Но мы можем двигаться дальше, так ведь?.. Представим некое число g1.

Производить даже приблизительные расчеты тут бесполезно и невозможно. Наш ум не способен воспринять число степеней. Это число не описать. Его нельзя сравнить ни с чем, потому что оно превышает все известные нам величины. С тремя стрелочками мы хотя бы могли вообразить расстояние «башни». А здесь даже ее высоту не с чем сравнить. Причем даже если мы заполним всю обозримую Вселенную этими «башнями», мы и близко не получим это число. Потому что количество этих «башень» будет лишь указывать на то, сколько «башень» еще нужно построить, чтобы получить число следующих «башень» и так множество раз.

Теперь возьмем еще одно число.

В числе g2 содержится g1 число стрелок. То есть всё то, что мы рассчитывали и представляли ранее — все эти «башни», которые не помещаются ни в какие Вселенные, — всё это только количество стрелок в числе g2.

Разумеется, можно придумать и число g3 и так далее 64 раза.

Так вот. Это и есть число Грэма.

Известно только, что число Грэма заканчивается на 7. Именно это число является максимальным решением задачи Рамсея.

На сегодняшний день число Грэма не является самым большим числом в мире. Существует по крайней мере три числа, превосходящих его. Об этих построениях можно написать отдельную заметку.

Взято с просторов интернета!