Продолжение поста «Аксиоматика множества призрачных чисел»
Место множества призрачных чисел относительно других множеств
Короче, для начала отметим, что для множества J 6-я аксиома, которая ∀a∈J\{0}: 0*a=0 избыточна. То что в ямайкамурровых числах 0 умножить на любой не 0 равно 0 выводится как следствие. Ну и ещё @alice9tails утверждает, что ∅ вообще по факту не операция. Ну я тоже подумал, что и фиг с ней. Так что в сухом остатке мы имеем множество J которое отличается от R только в следующих аксиомах (чтобы не переписывать всю эту аксиоматическую портянку, покажу только отличающиеся):
∀a,b∈J\{0}: a*b=b*a_________________∀a,b∈R: a*b=b*a
∀a∈J b,c∈J∖{0}: (a*b)*c=a*(b*c)_____∀a,b,c∈R: (a*b)*c=a*(b*c)
∀a,b∈J c∈J∖{0}: (a+b)*c=a*c+b*c____∀a,b,c∈R: (a+b)*c=a*c+b*c
∀a,b,c∈J c>0: (a⩽b⇒a*c⩽b*c)_______∀a,b,c∈J, c⩾0: (a⩽b⇒a*c⩽b*c)
@alice9tails натолкнула меня подумать, каково же место призрачных чисел в структуре математики. Пришлось смотреть теории множеств, коих, оказывается, в мире есть, и не одна. Собственно, я не особо нашёл что-то, что могло бы быстро и легко помочь с этим. И, скорее всего, именно что не нашёл, а не то, что его там нет. Я просто объясню суть терминов, которые буду использовать, чтобы было понятно. Но имейте в виду, что это всё, скорее всего, просто мой велосипед от какой-то из теорий множеств.
Множество элементов А является конкретным относительно множества B, если в нём определено как минимум одно дополнительное свойство для как минимум одного элемента множества В и при этом между всеми аксиомами множеств A и B нет противоречий. Множество В в таком случае можно считать абстрактным относительно А.
Определить дополнительное свойство элемента множества В, значит ввести аксиому о получении результата операции с этим элементом, который не определён для множества В.
Покажем на примере, что множество С является конкретным относительно R:
√(-1) - не определено в R
√(-1)=i - определено в С
Очевидно, что определено дополнительное свойство в виде результата для √-1, а значит, С конкретно относительно R, ну или, что тоже самое, R абстрактно относительно C. То, что у этих множеств нет конфликтов в аксиомах, доказано и без меня.
Теперь вернёмся к нашим баранам и покажем, что R конкретно относительно J:
a*0 - не определено в J, это при том, что 0*a=0, для a≠0
a*0=0 - определено в R
J вообще было получено просто вытравливанием коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности умножения на 0 из R, так что конфликты искать не приходится.
Покажем, что G конкретно относительно J:
a*0 - не определено в J
a*0=g(-1)a - определено в G
При этом G не является R в силу того, что:
0*1/0 - не определено в R
0*1/0 = g(1)0 - определено в G
Логично тогда предположить, что G конкретно относительно R, но эти два множества имеют противоречие на уровне аксиом:
a*0=0 - в R (я знаю, что a*0=0 в R не аксиома, а следствие)
a*0=g(-1)a - в G при том, что 0=g(0)0
То есть свойства нулю из J эти множества добавляют разные.
Проще выражаясь: G конкретизирует J иначе, чем это делает R.
Я тут картиночку для наглядности запилил с иерархией этих множеств:
Вот у вас есть множество G для которого определены все его операции для всех чисел - и множество R у которого нет деления на 0. И при этом они оба идут от одного абстракта...
Я, конечно, понимаю, что человечество, тысячелетие с лишним просидевшее на R, итак прекрасно себя чувствует, но вопросик-то есть один: может ли так быть, что сегодня мы не имеем возможности описать что-либо математически только потому, что стираем информацию умножением на 0 и вообще не умеем на него делить?
Кстати, вполне возможно конкретизировать аналог множества комплексных чисел и от G. И все другие навороты, аналогичные тем, что есть для R, скорее всего, тоже.
Аксиоматика множества призрачных чисел
Тут внезапно всплыло, что у множества действительных чисел R, на которое я так опрометчиво опирался при определении призрачных, есть очень недальновидный изъян, в виде того, что там коммутативность умножения кто-то когда-то сгоряча в аксиомы закинул, от чего потом и получилось, что умножение на 0 стало давать 0.
Так что пришлось определить своё множество чисел с преферансом и куртизанками, на которых работает призрачная алгебра. Я назвал его J или ямайкамурровы числа.
Непустое множество J называется множеством ямайкамурровых чисел, если на нём заданы операции сложения (+: J×J→J), умножения (*: J×J→J), отказа (∅: J×→J), и отношения порядка, удовлетворяющие следующим аксиомам:
∀a,b∈J: a+b=b+a.
∀a,b∈J: (a+b)+c=a+(b+c).
∃0∈J ∀a∈J: a+0=a.
∀a∈J ∃(−a)∈J: a+(−a)=0
∃1∈J ∀a∈J: a*1=a
∀a∈J\{0}: 0*a=0
∀a,b∈J\{0}: a*b=b*a
∀a∈J: a∅=0
∀a∈J b,c∈J∖{0}: (a*b)*c=a*(b*c)
∀a∈J∖{0} ∃(1/a)∈J: a*1/a=1
∀a,b∈J c∈J∖{0}: (a+b)*c=a*c+b*c
∀a,b∈J: a⩽b ∨ b⩽a
∀a,b∈J: (a⩽b ∧ b⩽a)⇒a=b
∀a,b,c∈J: (a⩽b ∧ b⩽c)⇒a⩽c
∀a,b,c∈J: (a⩽b⇒a+c⩽b+c)
∀a,b,c∈J, c>0: (a⩽b⇒a*c⩽b*c)
Пусть A и B такие непустые подмножества J, что
∀a∈A,b∈B:a⩽b. Тогда ∃c∈J ∀a∈A,b∈B:a⩽c⩽b.
Замечание. a⩽b⇔b⩾a. a⩽b при a≠b⇔a<b или b>a.
Вообще-то это по большей части копия аксиоматики действительных чисел - вся разница выделена жирным шрифтом. Имеем 2 полностью новые аксиомы и 4 старые, но с изменёнными условиями.
Аксиома 6 определяет умножение 0 на любое не равное 0 число (не наоборот).
Аксиома 8 определяет унарную операцию отказа, на тот случай, если вам надо обнулить имеющуюся информацию.
Можно заметить, что в ямайкамурровых числах не определено ни деление на 0, ни умножение на 0.
B тут в дело врывается призрачная алгебра:
Непустое множество G называется множеством призрачных чисел, если на нём заданы операции сложения (+: G×G→G), умножения (*: G×G→G), отказа (∅: G×→G), и отношения порядка, удовлетворяющие следующим аксиомам:
∀a∈J 0∈J ∃g(0)a∈G: a=g(0)a
∀a∈J 0, -1∈J: a*0=g(-1)a
∀a∈J 0,1∈J ∃(1/0)∈G: a*1/0=g(1)a
∀a,b,c∈J: g(a)g(b)с=g(a+b)c
∀a,b,c∈J: g(a)b+g(a)c=g(a)(b+c)
∀a,b,c,d∈J: g(a)b*g(c)d=g(a+c)(b*d)
∀a,b,c,d∈J: g(a)b*1/g(c)d=g(a-c)(b*1/d)
∀a∈G: a∅=0
Ну, вроде бы справился! Хотя проверять тут ещё и перепроверять.
Не очень уверен насчёт того, верно ли записал аксиому 3. Но суть её такова, что при делении числа на 0 получается призрак первого порядка со значением этого числа.
В общем, кто шарит, вы не стесняйтесь, подтягивайтесь.
В Питере шаверма и мосты, в Казани эчпочмаки и казан. А что в других городах?
Мы постарались сделать каждый город, с которого начинается еженедельный заед в нашей новой игре, по-настоящему уникальным. Оценить можно на странице совместной игры Torero и Пикабу.
Реклама АО «Кордиант», ИНН 7601001509
Часы
Продолжение поста «Почему на 0 делить нельзя?»
Призрачная алгебра. Или шутка, вышедшая из-под контроля
Форма записи призрачного числа:
g(z)Х
где:
g - призрачный модификатор
z - порядок призрачного числа, z∈ℤ
X - значение (значимая часть) призрачного числа
Призрачный модификатор является не более, чем просто символом, показывающим, что число записано в форме призрачного.
Порядок призрачных чисел ввёл @nbvehbectw, заодно упростив их запись так, чтобы модификатор ставился всегда перед числом. Человек, не побоявшийся заглянуть в кроличью нору призрачной алгебры. На данный момент точно понимает её лучше меня.
Что имеем сейчас:
X=g(0)X; X∈ℝ - любое действительное число может быть записано как призрачное порядка 0
g(z1)g(z2)X=g(z1+z2)X; X∈ℝ; z1, z2∈ℤ - призрачные числа приводятся в форму с действительной значимой частью.
X:0=g(1)X; X∈ℝ - деление действительного числа на 0 даёт в результате призрачное порядка 1 с значимой частью, равной делимому.
X*0=g(-1)X; X∈ℝ - умножение действительного числа на 0 даёт в результате призрачное порядка -1 с значимой частью, равной первому множителю.
0*X=0; X∈ℝ; X≠0 - умножение некоммутативно. Это значит, что сумма выражается как произведение следующим образом: X+X=X*2, но не 2*Х. Выражаясь простыми словами: взяв 1 яблоко 0 раз, вы в результате получаете 1 призрак яблока, но взяв 0 яблок 1 раз, вы получаете 0 яблок.
X+0=X; X∈ℝ
X-0=X; X∈ℝ
0-X=-X; X∈ℝ
Общее правило сложения для чисел одного порядка:
g(z)X+g(z)Y=g(z)(X+Y); X, Y∈ℝ; z∈ℤ
Общее правило умножения:
g(z1)X*g(z2)Y=g(z1+z2)(X*Y); X, Y∈ℝ; z1, z2∈ℤ
Общее правило деления:
g(z1)X:g(z2)Y=g(z1-z2)(X:Y); X, Y∈ℝ; z1, z2∈ℤ
Что-то из вышеперечисленного может оказаться избыточным.
Вот, собственно, вся призрачная алгебра и есть на данный момент.
Очень похожа на обычную алгебру, но полнее, и, как по мне, красивше. Да, умножение может доставить хлопот с непривычки, но это плата за возможность деления на 0. Да, вопросов, требующих разрешения, ещё прям основательно есть, но, блин, призрачной алгебре недели отроду нету, в конце концов! Может, помрёт ещё вообще! Ну или окажется математическим "велосипедом", что вот вообще никак не исключено тоже, учитывая, сколько там добра уже понапридумано.
Ну а насчёт её применимости, тут, знаете, ежели так подумать, то чем чёрт не шутит... Как минимум для разминки мозгов и троллинга уже сгодится. А там, мало ли, вдруг окажется, что ей можно какую-нибудь сингулярность посчитать!? Или волновую функцию разволновать!? Всё польза для человечества может быть.
За сим не остаётся ничего иного, как выпустить это чудо на математические нивы. Пускай само доказывает свою жизнеспособность.
От себя хочу выразить огромную благодарность всем, кто остался неравнодушен к этой теме, даже тем, кто призывал сжечь меня на костре. Было весело. До новых встреч!
Лучшая нейросеть для школьников
Mathway - это инструмент на основе ИИ, позволяющий мгновенно решать сложные математические уравнения и задачи. Нейросеть умеет работать с алгеброй, геометрией, тригонометрией, дифференциальным и интегральным исчислением, а также решать физические и химические задачи.
Источник телеграм канал ИИшница 🍳
Решаем задачку на движение из ОГЭ
Шаббат шалом! Наступили выходные, а это значит, что у меня выделилось время записать очередной небольшой разбор. Будет понятно даже 8-класснику, поэтому не преми́ньте возможностью показать этот видос вашему чаду) В профиле есть разборы с устными комментариями, пишите, какие вам (и детям, само собой) нравятся больше
Несем математику в массы, друзья🫶
Мотивация для учеников, лайфхак для учителя
Конкурс для мемоделов: с вас мем — с нас приз
Конкурс мемов объявляется открытым!
Выкручивайте остроумие на максимум и придумайте надпись для стикера из шаблонов ниже. Лучшие идеи войдут в стикерпак, а их авторы получат полугодовую подписку на сервис «Пакет».
Кто сделал и отправил мемас на конкурс — молодец! Результаты конкурса мы объявим уже 3 мая, поделимся лучшими шутками по мнению жюри и ссылкой на стикерпак в телеграме. Полные правила конкурса.
А пока предлагаем посмотреть видео, из которых мы сделали шаблоны для мемов. В главной роли Валентин Выгодный и «Пакет» от Х5 — сервис для выгодных покупок в «Пятёрочке» и «Перекрёстке».
Реклама ООО «Корпоративный центр ИКС 5», ИНН: 7728632689