Логарифмические чувства и их производные
Что такое математика? Все мы когда-то в детстве ковырялись в песочнице с совком и строили замки из песка. Чуть позже копали лопатой ямки под посадку деревьев или вскапывали поле под картошку. Кто-то затем освоил профессию экскаваторщика.
И математика – это такой же инструмент. Все мы пользуемся «детсадовским совком» при расчётах в магазине – сложить, отнять, умножить, поделить. Кому-то пригодилась и «математическая лопата», например, при планировке и постройке дома или сарая на даче или загородном доме. А кто-то освоил и «математический экскаватор», пойдя в математики.
Но абсолютное большинство, если и не знает значения, но помнит такое слово, как «логарифм». Некоторые даже знают его «сестру» экспоненту.
- Зачем нам все эти логарифмы и экспоненты в повседневной жизни? – спросит читатель.
Как ни странно, но и люди воспринимают окружающий мир «логарифмически» и природные процессы протекают «логарифмически», хоть и создаётся впечатление, что мы живём в линейном мире, в линейном пространстве, линейном времени. Вроде везде у нас линейные измерения – метры, секунды, сила тока, сила света, сила тяжести, температура… Кстати, о последней в конце рассказа.
Хоть нам и кажется всё линейным (т.е. измеряемым просто «линейкой» или другим прибором с равномерной шкалой), однако же мы ежедневно пользуемся нелинейными приборами (и нелинейными чувствами, точнее, сенсорами), не замечая этого.
Небольшое отступление: давайте уточним для забывших школьную математику, что такое линейная и нелинейная система отсчёта. Вот простая линейка:
Здесь каждое деление равно другому. И в начале линейки, и в середине, и в конце расстояние между рисочками одинаково, т.е. линейно.
А вот необычная линейка, логарифмическая, например:
Обратите внимание на верхнюю и нижнюю разлиновку шкалы. Она странная, очень неравномерная.
- И зачем нам такая «кривая» линейка по жизни? - спросите вы.
Незачем. Просто пример нелинейности, что такое нелинейная шкала. Измерять что-либо линейкой с такой шкалой вы ничего не будете.
А по поводу логарифма необходимо небольшое уточнение, т.к. нелинейных функций, зависимостей много, а логарифм/экспонента - одни. Это такие функции, которые показывают изменение не НА, а ВО сколько изменилась та или иная величина.
Например, мы можем сравнить два отрезка (две доски, если хотите) по длине и, в одном случае, первая доска окажется длиннее второй на 20 см, а во втором случае, длиннее в два раза. Хотя это одни и те же доски.
Привыкшие всё вокруг измерять «на», мы не обращаем внимания, что мы живём в мире «в».
Прим. Забавно, что такие (логарифмические, экспоненциальные) величины не могут быть отрицательными.
Самое распространённое и понятное – это звук. Громкость звука измеряется в дБ (децибелах) .
Это безразмерная величина. Есть некоторая «исходная», «эталонная» громкость (как эталон длинны метр, лежащий где-то в музее в Париже). И относительно этой величины измеряют какую-либо другую громкость, во сколько раз она больше ли меньше «эталонной».
Таким образом, мы можем слышать, прослушивать широкий по громкости диапазон звуков. От шороха в глухом тихом лесу, до рёва истребителя, болгарки или рок-концерта металлистов.
Изменяя дистанционкой громкость телевизора, вы изменяете уровень громкости во сколько-то раз.
Но со звуком ещё не всё. У звука есть, кроме громкости, второй параметр – это частота. Басы, средние частоты, высокие частоты. Частота звука также изменяется и воспринимается нелинейно, а в разах.
Все помнят раскладку чёрно-белых клавиш фортепиано или аккордеона. Частотный ряд там делится на т.н. октавы, которая в свою очередь делится на 12 нот. Ноты (частота звука) одной октавы отличаются от другой в 2 раза. Например, 440Гц, 880Гц, 1760Гц… и т.д. Это ноты «до» первой, второй и т.д. октав.
Со звуком разобрались. Ещё у нас есть свет. Установлено, что человеческий глаз способен реагировать, фиксировать «силу света» в несколько фотонов (понятно, что после того как глаз привыкнет к темноте). И в то же время мы можем взглянуть на Солнце. Но очень быстро и потом долго ждать, когда избавимся от «зайчика» в глазу. Это гигантский диапазон. Но, к сожалению, он не «логарифмирован», там шакала измерения силы света линейна.
Но в своих смартфонах, регулируя яркость экрана, вы можете наблюдать этот нелинейный эффект изменения яркости. Правда, он не очень ярко выражен, т.к. в самом смартфоне шкала уже нелинейна, да и датчик освещённости вносит свои поправки. Зато вы можете читать при свече или Луне, но зайдя с дневного света в тёмный подвал, где стоит та же самая одна свеча, никакой книжки вы не разглядите в первое время. Но зато пронаблюдаете эффект «В», вместо «НА». Убедитесь, что это явление «логарифмическо-экспотенциальное».
Кстати, на счёт второй характеристики света – цветности, т.е. частоты излучения. Да, у нас зрение имеет очень узкий спектр и поэтому в принципе мы можем обойтись линейной шкалой, измеряя длину волны в мм. Но сам спектр имеет явно выраженную нелинейность и работать со спектром удобнее в логарифмической шкале. Кстати, то же относится и радиоприёмникам, где есть длинные волны, средние, короткие, ультракоротки. И частоты радиостанций отстоят друг от друга не НА столько-то кГц, а ВО столько-то раз. И расчёт частотных фильтров так же иллюстрируется на логарифмической шкале.
Что у нас там ещё есть из чувств? Ну, тактильные ощущения. И снова тут логарифмическая зависимость. Вы можете ощутить прикосновение нежного пера, а можете сжимать черенок лопаты, копая картошку или рубить дрова – сумасшедший диапазон нагрузок, который так же удобнее измерять в логарифмах, в соотношениях, как звук.
Так вот, насчёт температуры… Что-то длинновато получилось. Давайте про температуру во второй части? А про производные чувств – в третьей.