Квадратные уравнения
В этом посте мы рассмотрим квадратные уравнения и способы их решения.
1. Что это?
Квадратным уравнением с переменной x называется уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c - некоторые числа, a ≠ 0.
2. Виды квадратных уравнений.
Квадратные уравнение, где все коэффициенты (a, b, c) не равны 0, называются полными.
Неполные квадратные уравнения - квадратные уравнения, в которых b или c (вместе или по отдельности) равны 0.
3. Решение неполных квадратных уравнений.
Рассмотрим 3 варианта.
b = 0. Тогда уравнение имеет вид ax² + c = 0, a ≠ 0. Это уравнение приводится к виду x² = -(c/a). Если числа a и c одного знака, то выражение -(c/a) отрицательно, и уравнение не имеет решений. Если же числа a и c разных знаков, то выражение -(c/a) положительно, и уравнение имеет 2 решения: x = ± корень из -(c/a).
c = 0. Тогда неполное квадратное уравнение имеет вид ax² + bx = 0. Вынося общий множитель x, получаем x (ax + b) = 0. Произведение равно 0, значит хотя бы один множитель равен 0. Поэтому уравнение распадается на два линейных: x = 0 и ax + b = 0, и оно имеет два решения: x = 0 или x = -b/a.
b,c = 0. В этом случае уравнение имеет вид ax² = 0. Оно имеет решение x = 0.
4. Решение полного квадратного уравнения через дискриминант.
Дискриминант (D) = b² - 4ac.
Знак дискриминанта даёт 3 случая.
D < 0. В этом случае уравнение не имеет решений.
D = 0. В этом случае x = -b/2a
D > 0. x = (-b ± корень из (b² - 4ac))/2a
5. Решение полного квадратного уравнения через сокращённый дискриминант.
Если b = 2k, то x = (-k ± корень из (k² - ac))/a. Дискриминант в этом случае равен k² - ac.
6. Теорема Виета
Теорема Виета гласит:
Если x1 и x2 - корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0, то
x1 + x2 = -b/a, x1 × x2 = c/a
Теорема, обратная к теореме Виета:
Если числа x1 и x2 удовлетворяют соотношениям x1 + x2 = -b/a, x1 × x2 = c/a, то эти числа являются корнями квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.
7. Решения квадратного уравнения с параметром.
Алгоритм:
1) Представить уравнение в стандартном виде.
2) Если коэффициент при x² есть, то рассмотреть случай: параметр равен 0.
3) Определить дискриминант.
4) Найти значения параметра, при которых D больше, равен или меньше 0. Найти корни для каждого случая.
5) В ответе указать все возможные значения параметра и соответствующие им решения.
8. Итоги.
Квадратные уравнения вида ax² + bx + c = 0 имеет много способов решений: дискриминант, теорема Виета. Также квадратные уравнения могут быть с параметром.
Если вы хотите продолжения с доказательствами и новыми способами, пишите об этом в комментариях. До встречи!