Так называемая дилемма Монти Холла — известная загадка, названная в честь первого телеведущего американского шоу «Давай заключим сделку» («Let's Make a Deal»).
В этом игровом шоу он дал участникам на выбор три двери, одна из которых скрывает машину, а две другие скрывают за собой коз. Автомобиль и козы были расставлены заранее случайным образом и не меняли местонахождение.
После того, как участник делал свой выбор, ведущий всегда открывал одну из двух оставшихся дверей, за которой, как он знал заранее, не было машины. Затем кандидат имеет право открыть дверь, которую он изначально выбрал, или открыть третью дверь.
На самом деле у Монти есть несколько возможных стратегий, например, такие:
Адский Монти: Ведущий предлагает изменить свой выбор, если дверь правильная.
Ангельский Монти: ведущий предлагает изменить свой выбор, если дверь не та.
Козлиный Монти : с самого начала игры ведущий выбирает одну из коз и открывает её, если игрок выбрал другую дверь.
Поэтому предпочтительнее полагаться на не двусмысленную постановку задачи, включая ограничения, описанные Мюзером и Гранбергом следующим образом:
Рассмотрим три двери, одна из которых скрывает машину, а две другие — козу. Призы распределяются равномерно и случайным образом.
Ведущий знает распределение призов.
Игрок выбирает одну из дверей, но ничего не открывается.
Ведущий открывает еще одну дверь, не скрывающую за собой машину.
Ведущий предлагает участнику игры изменить свой выбор открываемой двери.
Ведущий никогда не открывает дверь, за которой стоит машина, поэтому, если игрок выберет дверь с козой, ведущий откроет единственную другую дверь с козой. А если игрок выберет дверь, за которой находится машина, ведущий случайным образом откроет одну из двух дверей с прячущимися за ними козами (возможно, ранее определённую жребием).
Тогда возникает вопрос: «Повышает ли игрок свои шансы выиграть машину, изменив свой первоначальный выбор?», иначе говоря: «Вероятность выигрыша при смене двери больше, чем вероятность выигрыша без смены двери?»
Подавляющее большинство игроков и респондентов отказались изменить свой выбор, хотя это удвоило бы их шансы на победу. При этом люди думают, что с оставшимися двумя дверьми шансы на победу равны и менять свой выбор нет смысла. Если вы думаете так же, не смущайтесь, потому что вы не единственный, кто обманывает себя.
Ниже приводится перевод известной формулировки данной задачи, взятой из письма, опубликованного Крейгом Ф. Уитакером в колонке «Спросите Мэрилин» от Marilyn vos Savant в журнале «Parade» в сентябре 1990 года:
Предположим, вы находитесь на съемочной площадке игрового шоу, стоите лицом к трем дверям и вам нужно открыть только одну из них, зная, что за одной из них находится машина, а за другими — две козы. Вы выбираете дверь, скажем, номер 1, и ведущий, который знает, что находится за каждой дверью, открывает другую дверь, скажем, номер 3, при открытии которой появляется коза. Затем он спрашивает вас: «Вы хотите открыть дверь номер 2?». Хотели бы вы изменить свой выбор?
Публикация данной статьи в журнале оказала немедленное влияние на читательскую аудиторию и вызвала бурную дискуссию среди математиков, известных или нет, и анонимных любителей. Таким образом, Мэрилин вос Савант получила более 10 000 писем. Как видите, троллинг процветал даже в те времена, когда приходилось тратить гораздо больше сил и времени, чем сегодня, да ещё и платить за почтовый конверт и почтовую марку. А статья оказалась в тех ещё трендах!
По слухам, талантливый венгерский математик Пауль Эрдёш тоже попал в ловушку и даже отказывался принимать решение, пока своими глазами не увидел компьютерную симуляцию результатов эксперимента. Честно говоря, в это трудно поверить, но такой слух все же существует.
Для выигрышной стратегии важно следующее: если вы меняете выбор двери после действий ведущего, вы выигрываете, если изначально выбрали проигрышную дверь. Это произойдет с вероятностью 2/3, потому что изначально вы можете выбрать проигрышную дверь 2 из 3 способов.
Но часто при решении этой задачи люди рассуждают примерно так: ведущий всегда убирает проигрышную дверь, тогда шансы на появление автомобиля за двумя не открытыми дверями становятся равными 1/2, независимо от того, какой был первоначальный выбор. Но это неверно: хотя вариантов выбора действительно два, эти варианты (в контексте) не равновероятны. Это так, поскольку изначально все ворота имели равные шансы на победу, но затем были исключены разные вероятные события.
У большинства людей этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации. Из-за возникающего несоответствия между логическим выводом и ответом, к которому склоняется интуитивное мнение, задача называется парадоксом Монти Холла.
Ситуация с дверями становится немного более очевидной, если представить, что изначально дверей было не 3, а, скажем, 1000, и после выбора игрока ведущий убирает 998 из них, оставляя только 2 двери: ту, которую выбрал игрок, и еще одну. Тогда кажется более очевидным, что вероятности найти приз за этими дверями различны и не равны 1/2. Если мы изменим выбор двери, мы проиграем только в том случае, если сначала выберем дверь, за которой была машина, вероятность чего 1/1000. Мы выиграем, если наш первоначальный выбор был неправильным, и вероятность этого равна 999 из 1000. В случае 3 дверей, мы должны пользоваться той же логикой, но вероятность выигрыша при изменении решения соответственно будет 2/3, а не 999/1000.
Испытали ли вы когнитивный диссонанс, пытаясь понять этот парадокс?