Математика в вахе, или почему тиранидам не выпадает меньше 4⁠⁠

Сразу хочу сказать, что я непрофессиональный математик и несильно разбираюсь в лоре wh40k, но давно интересуюсь им.

Недавно я читал кодекс тиранидов (восьмая редакция) и заметил интересную способность у флота-улья "Кракен":

Т. е. игрок кидает три кубика и выбирает наибольший из трёх вариантов. Это означает, что для того, чтобы игроку выпало, например, меньше 3, нужно, чтобы на ВСЕХ кубиках выпало меньше 3.

Мне стало интересно подсчитать, какова вероятность выпадения каждого числа в таком случае.

Я сначала упростил задачу и решил случай для двух кубиков. Тогда решение очевидно:

Здесь видно, что Р (1)=1/36, Р (2)=3/36, Р (3)=5/36, Р (4)=7/36, Р (5)=9/36, Р (6)=11/36.

Также можно заметить, что Р (n)=(nxn-(n-1)x(n-1))/36. Тут тоже всё очевидно, поскольку разница квадратов двух соседних чисел равна нечётному числу (что подметил ещё Галилей).

Раз задача с двумя кубиками решён, переходим к трём.

Делать 3д-таблицы сложно и неудобно, поэтому придётся включать воображение и логику. Чтобы было проще, представим куб 6х6х6, тем состоящий из 216 мелких кубиков (не путать с игральными). Из одной вершины куба выходит три ребра, по которым размечены числа с 1 до 6. Каждый кубик внутри куба содержит число, определяющееся местонахождением кубика по координатам и по правилам выше.

Для начала попробуем определить количество кубиков, содержащих число 1. Для этого кубику надо находиться на координатах не выше 1. Конечно, такой кубик есть только один.

Теперь найдём количество кубиков, содержащих число 2. Это все кубики, чьи координаты не больше 2 и при этом хоть одна из координат равна 2. То есть это все кубики внутри куба 2х2х2, не включающие кубики внутри куба 1х1х1, или 8-1=7.

Если вы внимательно читали пост, то вы можете понять, что таким же образом можно определить количество кубиков с каждым числом, а именно nxnxn-(n-1)x(n-1)x(n-1).

Быстрыми вычислениями получаем, что

Р (1)=1/216 Р (2)=7/216 Р (3)=19/216

Р (4)=37/216 Р (5)=61/216 Р (6)=91/216

Это значит, что в 2/3 случаев игроку будет выпадать 5 или 6, что делает тиранидов имбовыми с точки зрения рандома.