Луночки Гиппократа⁠⁠

Продолжая серию постов о геометрии, захотелось также написать об еще одном великом геометре античности - Гиппократе Хиосском. Несколько его книг Эвклид включил в свои знаменитые "Начала", которые стали основой математики и геометрии для последующих ученых на протяжении двух тысяч лет (в них даже содержится основа математического анализа). Как и многие другие геометры, Гиппократ занимался поиском квадратуры круга, но, в отличие от других философов, пришел в своих исследованиях к интересному открытию - "луночки" - площадь пересечения двух окружностей - квадрируются, то есть с помощью циркуля и линейки можно построить квадрат, площадь которого будет равна площади луночки. Изучая геометрию последние несколько недель, я также изучал геометрические фигуры в природе - аналогом луночки Гиппократа в природе можно считать лунный месяц, который мы часто наблюдаем на небе. Вот несколько примеров нахождения квадратуры луночек:

Одну из луночек можно построить следующим образом: возьмем четверть круга и на хорде АС, соединяющей концы радиусов ОА и ОС, опишем как на диаметре внешнюю по отношению к четверти круга полуокружность.

Легко показывается, что площадь луночки равна площади треугольника АВС. Таким образом, луночка квадрируема.

Другая интерпретация этой же задачи на следующем рисунке:

Гиппократ заметил, что суммарная площадь зеленых луночек равна площади квадрата, окрашенного здесь в красный цвет. Действительно, сумма площадей полукругов, построенных на сторонах этого квадрата, равна площади круга, в который вписан квадрат. Если из полукругов удалить окрашенные в черный цвет сегменты, то останутся четыре луночки; если же удалить их из большого круга, то останется квадрат.

Гиппократ получил три квадрируемые луночки. Д. Бернулли в “Математических упражнениях” указал условие, которому должны удовлетворять алгебраически квадрируемые луночки, и привел уравнение, дающее четвертую квадрируемую луночку.

Однако луночки Гиппократа задачу о квадратуре круга вперед к решению не продвинули: в 30—40-х годах XX в. И. Г. Чеботаревым и А. В. Дородновым доказано, что существует пять видов квадрируемых луночек, но они не квадрируемы вместе с кругом.

Следующее предложение доказано арабом Ибн Альхаитамом, а французские математики А. де Лион и Г. Парди высказали его вновь в 1654 и в 1671 г.

Построим на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре полуокружность, лежащую с той же стороны гипотенузы, что и сам треугольник, а на катетах, как на диаметрах, построим полуокружности во внешнюю от треугольника сторону.

Тогда сумма площадей двух получившихся луночек равна площади треугольника АВС.

Здесь интересен еще и следующий факт - луночки являются равноширинными. Диаметры наибольших вписанных в них окружностей равны одной и той же величине, а именно половине разности между суммой катетов и гипотенузой треугольника.

Вот еще один интересный факт, являющийся частным случаем задачи о трех арбелонах. На сторонах прямоугольного теугольника, как на диаметрах, построены три окружности. Они образуют две луночки (выделены оранжевым) и арбелон (выделен серым), а также дуговой двуугольник, обозначенный буквой Т.

Оказывается, что сумма площадей луночек и арбелона без площади криволинейного двуугольника Т равна удвоенной площади треугольника АВС.

Следующий рисунок иллюстрирует еще одну теорему Гиппократа.

Пусть нижнее основание трапеции является диаметром описанной около нее окружности, АВ=ВС=CD и на боковых сторонах и верхнем основании, как на диаметрах построены полуокружности. При этом образуются три равные луночки (выделены серым). Оказывается, площадь трапеции равна сумме площадей этих луночек и полукруга (полукруг равен тем полукругам, из которых образованы луночки).