Математический ликбез Алгебраические структуры: группа
Этот пост посвящен различным алгебраическим структурам - множествам объектов с введенными на них операциями
Пусть у нас есть множество G ={a,b,c..}
Операцией будем называть отображение GxG->G или по-простому правило, сопоставляющее паре элементов из G третий элемент множества G. Например сложение натуральных чисел 2+3=5
На самом деле аналогия со сложением может только путать, потому что для натуральных чисел верно что 2+3=3+2; в общем случае наличие таких свойств (например перестановка слагаемых не влияет на результат, так называемая коммутативность) не подразумевается.
По свойствам таких операций имеется следующая классификация:
(на самом деле там более подробно все классифицируется, но пропущенные мной названия почти не используются)
Группа
Группой называется множество с операцией,допустим "+" удовлетворяющей следующим свойствам
Ассоциативность : а+(b+c)=(a+b)+c , т.е. не важно в каком порядке расставлять скобочки
Существует нейтральный элемент e: a+e=e+a=a, аналог 0
Существует противоположный элемент: для любого a существует b, такое что a+b=0
Простейший пример группы это множество целых чисел с обычной операцией сложения, натуральные числа не группа (даже если добавить 0, нет противоположного)
Чуть более сложный, но очень популярный пример это так называемые вычеты по модулю m, то есть остатки от деления целых чисел на m (их всего m, {0,1,...,m-1})
Сложение задано очень просто: надо сложить как обычно и взять остаток от суммы при делении на m. Например если m=2, то в группе всего 2 элемента {0,1};0+0=0, 0+1=1,1+1=0. Такие группы обозначаются Z_m
Если для любых a,b a+b=b+a то группа называется абелевой, группы вычетов абелевы
Вообще, чтобы задать группу, можно просто задать табличку действия операции на элементах.
Неабелевы группы существуют, основной пример тут тоже есть, это так называемые группы подстановок из n элементов, для любого n
Что такое подстановка? Это очень просто: просто перемешанный набор n чисел {1,2,3,..,n}(без повторений), например при n=4 подстановка (2,1,3,4). Всего их n!=123..n; это легкое упражнение. Подстановке (i1,i2,...,in) соответствует взаимно-однозначное отображение множества {1,2,3..n} в себя; 1->i1, 2->i2,..,n->in. Отсюда становится понятно какую операцию ввести: композицию отображений. Пример (2, 1, 3, 4)(3, 4, 1, 2)=(3,4,2,1): 1 перешло в 3, 3 перешло в 3, при композиции 1 в 3; 2 перешло в 4, 4 перешло в 4, при композиции 2 в 4 и так далее (умножаем справа налево)
У группы подстановок множество замечательных свойств, например с одним из них связано то, что многочлены степени выше 5 неразрешимы в радикал: если для квадратных уравнений существует формула для корней (с дискриминантом), для кубических и четвертой тоже (формулы Кардано и Феррари), то для уравнений выше 5 нет.
Пусть у нас есть множество G ={a,b,c..}
Операцией будем называть отображение GxG->G или по-простому правило, сопоставляющее паре элементов из G третий элемент множества G. Например сложение натуральных чисел 2+3=5
На самом деле аналогия со сложением может только путать, потому что для натуральных чисел верно что 2+3=3+2; в общем случае наличие таких свойств (например перестановка слагаемых не влияет на результат, так называемая коммутативность) не подразумевается.
По свойствам таких операций имеется следующая классификация:
(на самом деле там более подробно все классифицируется, но пропущенные мной названия почти не используются)
Группа
Группой называется множество с операцией,допустим "+" удовлетворяющей следующим свойствам
Ассоциативность : а+(b+c)=(a+b)+c , т.е. не важно в каком порядке расставлять скобочки
Существует нейтральный элемент e: a+e=e+a=a, аналог 0
Существует противоположный элемент: для любого a существует b, такое что a+b=0
Простейший пример группы это множество целых чисел с обычной операцией сложения, натуральные числа не группа (даже если добавить 0, нет противоположного)
Чуть более сложный, но очень популярный пример это так называемые вычеты по модулю m, то есть остатки от деления целых чисел на m (их всего m, {0,1,...,m-1})
Сложение задано очень просто: надо сложить как обычно и взять остаток от суммы при делении на m. Например если m=2, то в группе всего 2 элемента {0,1};0+0=0, 0+1=1,1+1=0. Такие группы обозначаются Z_m
Если для любых a,b a+b=b+a то группа называется абелевой, группы вычетов абелевы
Вообще, чтобы задать группу, можно просто задать табличку действия операции на элементах.
Неабелевы группы существуют, основной пример тут тоже есть, это так называемые группы подстановок из n элементов, для любого n
Что такое подстановка? Это очень просто: просто перемешанный набор n чисел {1,2,3,..,n}(без повторений), например при n=4 подстановка (2,1,3,4). Всего их n!=123..n; это легкое упражнение. Подстановке (i1,i2,...,in) соответствует взаимно-однозначное отображение множества {1,2,3..n} в себя; 1->i1, 2->i2,..,n->in. Отсюда становится понятно какую операцию ввести: композицию отображений. Пример (2, 1, 3, 4)(3, 4, 1, 2)=(3,4,2,1): 1 перешло в 3, 3 перешло в 3, при композиции 1 в 3; 2 перешло в 4, 4 перешло в 4, при композиции 2 в 4 и так далее (умножаем справа налево)
У группы подстановок множество замечательных свойств, например с одним из них связано то, что многочлены степени выше 5 неразрешимы в радикал: если для квадратных уравнений существует формула для корней (с дискриминантом), для кубических и четвертой тоже (формулы Кардано и Феррари), то для уравнений выше 5 нет.