Интересные математические факты
1. Рассмотрим число 144:
- это идеальный квадрат;
- все его цифры - правильные квадраты;
- сумма цифр равна полному квадрату;
- произведение цифр - правильный квадрат;
- сумма цифр равна квадрату количества цифр и суммы цифр квадратного корня;
- квадрат суммы цифр квадратного корня равен сумме цифр квадрата;
- все эти свойства верны для перевернутой цифры (441);
- квадратные корни чисел 144 и 441 тоже являются обратными друг другу;
- единственное другое число, все цифры которого не равны нулю, удовлетворяющее всем этим свойствам, — это палиндром (44944).
Круто, но никакой практической пользы.
2. Закон Бенфорда. Первые цифры во многих числах распределены не случайным образом. Цифра 1 - самая распространенная. Этот закон используется во многих мобильных приложениях, а также при выявлении мошеннических бухгалтерских операций.
3.Теорема Вариньона. Возьмите любой четырехугольник, неважно, квадрат, прямоугольник, трапеция, ромб - что угодно. Теперь соедините середины его сторон, в результате всегда получится параллелограмм. А его площадь будет равна половине площади этого четырехугольника.
4. Любое двузначное число, умноженное на 11, представляет собой просто сумму цифр, стоящих в середине.
Пример:
36 х 11 = 3(3+6)6 = 396
45 х 11 = 4(4+5)5 = 495
Когда сумма превышает 9, вы переносите ее следующим образом:
99 x 11 = 9(9+9)9 = 9(18)9 = выносим единицу = 10(8)9 = 1089
84 х 11 = 8(8+4)4 = 8(12)4 = 924
5. Никакие три различных натуральных числа a, b и c не могут удовлетворять уравнению
а^n + b^n = с^n
где n — целое число > 2
6. Существует множество трудно запоминающихся алгоритмов для разработки двоичных представлений чисел. Один из самых простых методов:
Возьмите номер и запишите его. Уменьшите число пополам (округлив вниз) и поместите его влево. Затем еще раз и продолжайте, пока не достигнете 0.
Под каждым нечетным числом напишите «1». Под каждой четной цифрой напишите «0».
Например, двоичное представление числа 137:
0 1 2 4 8 17 34 68 137
0 1 0 0 0 1 0 0 1
Больше подобных подборок и историй на моем канале https://t.me/mentalitetttt
Материал взят и переведен с Реддита. Приятного чтения:)
ИИ-поисковик найдет любые теоремы в один клик
Вводите темы из точных наук и получаете список теорем с источниками на GitHub.
Сервис ищет по крупной математической библиотеке и понимает самые простые запросы, а главное — всё бесплатно. Это Google из мира математики! (Единственный минус - он на английском)
Студенты, ловите — тут.
Источник: https://t.me/corbo0/466
В Питере шаверма и мосты, в Казани эчпочмаки и казан. А что в других городах?
Мы постарались сделать каждый город, с которого начинается еженедельный заед в нашей новой игре, по-настоящему уникальным. Оценить можно на странице совместной игры Torero и Пикабу.
Реклама АО «Кордиант», ИНН 7601001509
За Ферма!
День не задался – утром учёный совет отменил заседание и перенёс рассмотрение научной работы Ильи Владимировича. Позвонили из школы – сын Лёшка прогуливает уроки физкультуры. Вечером Илья Владимирович обещал тёще проведать её – теперь тащись через весь город. Жена от него ушла два года назад. Так бывает, жены нет, а сын и тёща остались.
Илья Владимирович, как и сын, в свои школьные годы прогуливал физкультуру.
– Звонили из школы, ты на физру не ходишь.
– Па-аап, ну ты же знаешь?
Илья Владимирович молча смотрел на сына, как бы отвечая – знаю, а что делать?
– Не расстраивайся, я схожу.
Прозвенел дверной звонок. Илья Владимирович открыл дверь.
На пороге стоял неуверенный в себе мужчина, в лёгком – не по сезону плаще. К груди он крепко прижимал потёртый портфель.
– Вы Илья Владимирович Франкевич?
– Да. А в чём дело?
– Я учитель математики, Федоркин Валентин Валентинович.
Илья Владимирович сделал шаг назад, приглашая посетителя войти в квартиру.
– Вы учитель моего Лёшика?
– Нет-нет, я по другому вопросу. Я о Вас много слышал, Илья Владимирович. Вы – известный математик. Только Вы сможете мне помочь.
Илья Владимирович был не рад гостю, настроение паршивое, гость какой-то странный, но не выгонишь же человека вот так запросто.
– Раздевайтесь. Проходите. Что там у вас, дружок?
Федоркин разделся, вошёл в комнату, не отпуская свой портфель от груди.
– Понимаете, Илья Владимирович, я доказал теорему Ферма.
У Ильи Владимировича чуть не вылетело матерное слово, но, будучи человеком воспитанным, он промолчал. Федоркин продолжал:
– Кроме Вас в нашем городе никто… один Вы можете подтвердить этот факт. Вот!
Он полез в портфель и вытащил рукопись, испещрённую формулами.
Илья Владимирович совсем недавно прочитал «Игру в бисер» Германа Гессе, книга произвела на него сильное впечатление. Возможно прочитанная книга, стресс и усталость стали причиной видения, но, вместо неровным почерком написанных математических знаков, он увидел разноцветные бусинки, они перекатывались, заполняя банаховые пространства, которым была посвящена его научная работа. Видение продолжалось недолго. Посетитель ничего не заметил. Илья Владимирович потёр глаза – как же он устал!
Что сказать этому сумасшедшему? Школьный учитель средней школы, доказавший теорему Ферма. Может, гений? Тьфу-ты, ерунда какая-то…
– Вы знаете, дружок… – Илья Владимирович сделал паузу.
– Федоркин Валентин Валентинович.
– Да, вы знаете, дружок Валентин Валентинович. Напишите мне ваш телефон, я посмотрю и позвоню вам.
Федоркин поискал глазами – на чём бы ему записать телефон.
– Да на рукописи вашей и напишите.
Федоркин замер... Какое глумление писать телефон на рукописи.
– Да вы пишите-пишите, дружок, – приободрил его Илья Владимирович.
Федоркин аккуратно на полях написал номер. Он надеялся, что Илья Владимирович посмотрит доказательство сегодня, прямо сейчас, при нём. У него даже мелькнула мысль, а не присвоит ли именитый профессор его доказательство теоремы Ферма себе? Деваться было некуда. С трудом расставшись с рукописью, Федоркин нехотя направился к двери.
***
Наступили выходные. Настроение у Ильи Владимировича было отличным. Научный совет принял решение рассмотреть его работу. Лёша сидел у окна и читал Азимова. На улице светило солнце.
– Как насчёт яичницы с луком на сале?
– Ага, – ответил Лёшка, не прерывая чтения.
Илья Владимирович, насвистывая хабанеру, по пути в кухню прихватил рукопись Федоркина. Начал читать, обнаружил ошибку в доказательстве, аккурат и яичница готова. Отложил рукопись в сторону, чтоб аппетит не портить.
Позавтракав, набрал номер телефона Федоркина: «Валентин Валентинович, вы можете зайти ко мне, забрать рукопись. Да, я прочитал. Только не на выходные. Давайте, дружок, в среду после семи».
В среду в семь часов вечера прозвенел звонок. На пороге стоял Федоркин. Глаза его сияли, он держался увереннее.
«Раздевайтесь, проходите, дружок. Хочу вас поздравить, для учителя математики средней школы очень недурно, у вас есть математические познания. Но! – тут Илья Владимирович сделал паузу, – я нашёл у вас ошибку».
Илья Владимирович открыл рукопись и обьяснил Федоркину, в чём его ошибка, тот побледнел и обмяк. Илья Владимирович принёс стакан воды. Постепенно Федоркин пришёл в себя.
***
Прошло три недели. Вечером раздался звонок в дверь – на пороге стоял Федоркин. Илья Владимирович нахмурился. Его оторвали от чтения «Ста лет одинчества». Сдержанным тоном, выдавливая из себя слова, он сказал:
– Да, слушаю вас.
– Вы знаете? Я исправил ошибку...
Федоркин открыл портфель, ни слова не говоря, вложил рукопись Илье Владимировичу в руки и исчез. Илья Владимирович с досадой бросил рукопись на тумбочку, вернулся в гостиную и продолжил чтение романа...
***
Научная работа Ильи Владимировича была одобрена, шла подготовка к печати. В пятницу поздно вечером он вернулся из гостей в прекрасном расположении духа. Его взгляд упал на рукопись, всё ещё лежащую в прихожей; стал читать, через пять минут со вздохом закрыл и пошёл спать.
Где-то через месяц раздался звонок в дверь.
Это был Федоркин, улыбался, но был как бы не в себе.
– Ах да, дружок, виноват, забыл вам позвонить. Проходите. Огорчу вас, друг мой, я снова нашёл у вас ошибку.
Илья Владимирович подробно обьяснил Федоркину, где тот допустил просчёт. Смотреть на Федоркина было жалко.
– А вы знаете, друг мой, давайте я вас научу, как вы можете сами себя проверять – сделали вы ошибку в доказательстве или нет.
Илья Владимирович около двух часов рассказывал Федоркину, как проверить, верно доказательство или нет. Федоркин подробно записывал лекцию. Переспрашивал, делал пометки, возвращался к уже разъяснённому, одним словом, отнёсся ответственно.
***
Илья Владимирович готовился встретить Новый год в близком кругу. Только сели за стол, раздался звонок в дверь. «Кто бы это мог быть?»
На пороге стоял худой, небритый, болезненного вида человек в плаще не по сезону. В руках у него были бутылка шампанского и торт.
– Илья Владимирович, Вы не узнали меня? Это я – Федоркин.
– Ах да, простите, дружок, не признал сразу.
– С Новым годом! Это Вам, – Федоркин сунул своё богатство Илье Владимировичу в руки.
– Да что же случилось дружок, неужели доказали?!
Федоркин не обратил внимания на иронию.
– Илья Владимирович, как я Вам благодарен… Вы научили меня находить ошибки в собственных доказательствах. Все эти годы я доказывал и опровергал, доказывал и опровергал!
Неожиданно он резко повернулся и также внезапно исчез, как и появился.
– Дружок, куда же вы? – негромко прозвучал голос Ильи Владимировича.
Ответа не было.
Илья Владимирович вернулся к гостям, вечер протекал в непринуждённой беседе, криками «Ура!» встретили Новый год. Около двух гости разошлись.
Илья Владимирович присел к столу: «Как же хорошо побыть в тишине». Налил шампанское, задумался, глядя на пузырьки... поднял бокал: «За Ферма!»
Математики, отзовитесь
Товарищи, подскажите, пожалуйста, откуда это взялось и почему это так (как доказывается, что за теорема)?
Пытаюсь понять, откуда это взялось.
P.S. Столкнулся как с разновидностью системы попарного сравнения
За Ферма! автор Юрий Вер
День не задался – утром учёный совет отменил заседание, рассмотрение работы Ильи Владимировича перенесено. Днём позвонили из школы – сын Лёшка, прогуливает уроки физкультуры. Вечером Илья Владимирович обещал тёще проведать её - теперь тащись через весь город. Жена от него ушла два года назад. Так бывает, жены нет, а сын и тёща остались.
Илья Владимирович, как и сын, в свои школьные годы прогуливал физкультуру. Ругать сына ему не хотелось.
- Звонили из школы, ты на физру не ходишь.
- Па-аап, ну ты же знаешь?
Илья Владимирович молча смотрел на сына, как бы отвечая - знаю, а что делать?
- Хорошо, не расстраивайся, я схожу.
Прозвенел дверной звонок. Илья Владимирович открыл дверь.
На пороге стоял неуверенный в себе мужчина, в лёгком - не по сезону плаще. К груди он крепко прижимал потёртый портфель.
- Вы Илья Владимирович Франкевич?
- Да. А в чём дело?
- Я учитель математики, Федоркин Валентин Валентинович.
Илья Владимирович сделал шаг назад, приглашая посетителя войти в квартиру.
- Вы учитель моего Лёшика?
- Нет-нет, я по другому вопросу. Я о Вас много слышал, Илья Владимирович. Вы - известный математик. Только Вы сможете мне помочь.
Илья Владимирович не был рад гостю, настроение паршивое, гость какой-то странный, но не выгонишь же человека вот так запросто.
- Раздевайтесь. Проходите. Что там у вас, дружок?
Федоркин разделся, вошёл в комнату, не отпуская свой портфель от груди.
- Понимаете, Илья Владимирович, я доказал теорему Ферма.
У Ильи Владимировича чуть не вылетело матерное слово, но, будучи человеком воспитанным, он промолчал. Федоркин продолжал:
- Кроме Вас в нашем городе никто… один Вы можете подтвердить этот факт. Вот!
Он полез в портфель и вытащил рукопись, испещрённую формулами.
Илья Владимирович совсем недавно прочитал «Игру в бисер» Германа Гессе, книга произвела на него сильное впечатление. Возможно прочитанная книга, стресс и усталость стали причиной видения, но вместо неровным почерком написанных математических знаков, он увидел разноцветные бусинки, они перекатывались, заполняя банаховые пространства, которым была посвещена его научная работа. Видение продолжалось недолго. Посетитель ничего не заметил. Илья Владимирович потёр глаза - как же он устал!
Что сказать этому сумашедшему? Школьный учитель средней школы, доказавший теорему Ферма. Может гениий? Тьфу-ты, ерунда какая-то…
- Вы знаете, дружок, - Илья Владимирович сделал паузу.
- Федоркин Валентин Валентинович.
- Да, вы знаете, дружок Валентин Валентинович. Напишите мне ваш телефон, я посмотрю и позвоню вам.
Федоркин поискал глазами - на чём бы ему записать телефон.
- Да, на рукописи вашей и напишите.
Федоркин замер... Какое глумление писать телефон на рукописи.
-Да вы пишите-пишите, дружок, - приободрил его Илья Владимирович.
Федоркин аккуратно на полях написал номер. Он надеялся, что Илья Владимирович посмотрит доказательство сегодня, прямо сейчас, при нём. У него даже проскользнула мысль, а не присвоит ли именитый профессор его доказательство теоремы Ферма себе? Деваться было некуда… С трудом расставшись с рукописью, Федоркин, нехотя, направился к двери.
***
Наступили выходные. Настроение у Ильи Владимировича было отличным. Научный совет принял решение ещё раз рассмотреть его работу. Лёша сидел у окна и читал Азимова. На улице светило солнце.
- Как насчёт яичницы с луком на сале?
- Ага, - ответил Лёшка, не прерывая чтения.
Илья Владимирович, насвистывая хабанеру, по пути в кухню прихватил рукопись Федоркина. Начал читать, обнаружил ошибку в доказательстве, аккурат и яичница готова. Отложил рукопись в сторону, чтоб аппетит не портить.
Позавтракав, набрал номер телефона Федоркина: «Валентин Валентинович, вы можете зайти ко мне, забрать рукопись. Да, я прочитал. Только не на выходные. Давайте, дружок, в среду после семи».
В среду в семь часов вечера прозвенел звонок. На пороге стоял Федоркин. Глаза его сияли, он держался увереннее.
«Раздевайтесь, проходите, дружок. Хочу вас поздравить, для учителя математики средней школы очень не дурно, у вас есть математические познания. Но!» – тут Илья Владимирович сделал паузу, - «Я нашёл у вас ошибку».
Илья Владимирович открыл рукопись и обьяснил Федоркину, в чём его ошибка, тот побледнел и обмяк. Илья Владимирович принёс стакан воды. Постепенно Федоркин пришёл в себя.
***
Прошло три недели. Вечером звонок в дверь - на пороге стоял Федоркин. Илья Владимирович нахмурился. Его оторвали от чтения «Сто лет одинчества». Сдержанным тоном, выдавливая из себя слова, он сказал:
- Да, слушаю вас.
- Вы знаете? Я исправил ошибку...
Федоркин открыл портфель, ни слова не говоря, вложил рукопись Илье Владимировичу в руки, и исчез, быстро захлопнув за собой дверь. Илья Владимирович с досадой бросил рукопись на тумбочку, вернулся в гостиную и продолжил чтение романа...
***
Научная работа Ильи Владимировича была одобрена, шла подготовка к печати. В пятницу поздно вечером он вернулся из гостей в прекрасном расположении духа. Его взгляд упал на рукопись всё ещё лежащую в прихожей. Он открыл её и стал читать, через пять минут со вздохом закрыл и пошёл спать.
Где-то через месяц раздался звонок в дверь.
Это был Федоркин, улыбался, но был как бы не в себе.
- Ах да, дружок, виноват, забыл вам позвонить. Проходите. Огорчу вас, друг мой, я снова нашёл у вас ошибку.
Илья Владимирович подробно обьяснил Федоркину, где тот допустил ошибку. Смотреть на Федоркина было жалко.
- А вы знаете, друг мой, давайте я вас научу, как вы можете сами себя проверять - сделали вы ошибку в доказательстве или нет.
Илья Владимирович около двух часов рассказывал Федоркину, как проверить, верно доказательство или нет. Федоркин подробно записывал лекцию. Переспрашивал, делал пометки, возвращался к уже разъясненному, одним словом, отнёсся ответственно.
***
Наступил канун Нового года. Илья Владимирович готовился встретить Новый год в близком кругу. Когда все были в сборе раздался звонок в дверь. «Кто бы это мог быть?»
На пороге стоял худой, небритый, в старом плаще - не по сезону, очень неуверенный в себе человек. В руках у него были бутылка шампанского и торт.
- Илья Владимирович, Вы не узнали меня? Это я – Федоркин.
- Ах, да простите, дружок, не признал сразу.
- С Новым годом! Это Вам, - Федоркин сунул своё богатство Илье Владимировичу в руки.
- Да что же случилось дружок, неужели доказали?!
Федоркин не обратил внимание на иронию мэтра.
- Илья Владимирович, как я Вам благодарен, Вы научили меня находить ошибки в собственных доказательствах. Все эти годы я доказывал и опровергал, доказывал и опровергал!
Неожиданно он резко повернулся и также внезапно исчез, как и появился.
- Дружок, куда же вы? - не громко прозвучал голос Ильи Владимировича.
Ответа не было. Он вернулся к гостям, вечер протекал в непринуждённой беседе, криками «Ура!» встретили Новый год. Около двух гости разошлись.
Илья Владимирович присел к столу: «Как же хорошо побыть в тишине». Налил шампанское, задумался, глядя на пузырьки... поднял бокал: «За Ферма!»
Теорема о рычаге (геометрия масс)
НИГДЕ НЕ НАШЕЛ УПОМИНАНИЯ ЭТОЙ ТЕОРЕМЫ, ПОЭТОМУ НАПИСАЛ ЭТОТ ПОСТ
Пусть заданы точки x1, x2, x3... xn с приписанными им числами (массами) m1, m2... mn. Тогда точка O будет центом масс системы, если выполняется следующее равенство (определение центра масс):
(такая точка всегда существует, причем только одна)
Теорема о рычаге
Пусть заданы точки A и B, в точке А лежит груз массой а, а в точке B лежит груз массой b.
Пусть О - центр масс системы, тогда справедливо следующее утверждение: AO = αb, BO = αa.
Очевидно, что точка О лежит на отрезке AB.
Доказательство:
По определению центра масс:
Поскольку векторы OA и BO лежат на одной прямой, то справедливо будет сделать переход к следующему равенству:
Отсюда собственно и следует равенство: AO/BO = b/a. Теорема о рычаге доказана!
Мне часто пишут, что я не умею заинтересовать народ, т.е. написал про что то, а где применять не показал... хорошо, давайте при помощи теоремы о рычаге докажем, что в треугольнике медианы пересекаются в одной точке (центр масс треугольника) и делятся в отношении 2:1 считая от вершины.
Пусть CM - медиана треугольника ABC. Положим в каждую вершину треугольника по грузу массой 1 грамм. Тогда точка M - центр масс AB, т.е. если мы груз из точек А и В положим в точку М, то центр масс треугольника останется на своем месте. Теперь в точке М лежит 2 грамма, а в точках A и В ничего не лежит, очевидно, что центр масс CM будет центром масс треугольника ABC. По теореме о рычаге получаем, что точка O (центр масс) должна делить отрезок CM в отношении 2:1 считая от вершины.
Аналогично делаем для других медиан. Очевидно, что центр масс для треугольника ABC один, значит все медианы пересекаются в центре масс и делятся точкой пересечения в отношении 2:1 считая от вершины. ДОКАЗАНО.
Ну а теперь решение задач из планиметрии!
В треугольнике ABC точка L делит сторону BC в отношении 3:4 считая от точки B. На прямой L взяли точку O такую, что AO/OL = 1/2. Через точки B и О проводят прямую, которая пересекает сторону АС в точке K. Найти: AK/KC и BO/OK.
Решение:
Необходимо положить некоторую массу в вершины треугольника, что бы точка О стала центром масс треугольника. Сделаем L центром масс отрезка ВС, из теоремы о рычаге следует, что для этого нужно положить в точку В 4 грамма, а в точку С 3 грамма. Теперь необходимо сделать точку О центром масс отрезка AL, из теоремы о рычаге следует, что в точку А нужно положить 14 грамм.
Теперь, после того как мы положили в вершины A, B и С по 14г, 4г и 3г соответственно точка O стала центром масс треугольника ABC.
Найдем отношение AK/KC. Заметим, что K - центр масс AC, поскольку центр масс всего треугольника - точка О, лежащая на BK. Если бы центр масс АС был в точке M (M ≠ K), то центр масс треугольника ABC должен быть на BM, что не есть возможным, поскольку M ≠ K.
И опять таки из теоремы о рычаге следует, что AK/KC = 3/14.
Аналогично можно доказать, что О - центр масс BK, и опять теорема о рычаге... BO/OK = 17/4.
А теперь самое интересное! При помощи теоремы о рычаге можно найти центр масс тетраэдра и доказать, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся в отношении 3:1 считая от вершины.
Def: Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противолежащей грани.
Пусть M - точка пересечения медиан треугольника ABC, тогда DM - медиана тетраэдра.
Положим в каждую вершину 1 грамм, тогда M - центр масс треугольника ABC, из теоремы о рычаге следует, что центр масс должен делить отрезок DM в отношении 3:1 считая от вершины. Аналогично для других медиан, а поскольку центр масс один, то все медианы тетраэдра пересекаются в центре масс тетраэдра и делятся в отношении 3:1 считая от вершины.