Почему это окружность? Дефиниция окружности - фигура, все точки которой равноудалены от центра. Здесь явно не окружность.
Вот. А кто сказал, что длина измеряется именно так? В современной математике и анализе это ниоткуда не следует. И поэтому при желании длину можно брать разную. А следовательно, вид окружности будет меняться в зависимости от того, что мы назовём длиной.
Тогда дефинируйте понятие длины. Что значит брать разную? Из головы взять? Тогда что угодно можно назвать окружностью.
Или вы о другой системе координат?
Вот тебе математическое определение "длины": https://ru.wikipedia.org/wiki/Метрическое_пространство - раздел Определение.
Как я уже сказал, под него подходит не только наша привычная евклидова длина, но и куча других конструкций, которые я и описал в посте.
А окружность - это геометрическое место точек, равноудалённых от заданной, ты совершенно прав.
В определении не сказано, что такое длинна.
евклидова длина
Значит мы уже не в евклидовом пространстве.
В математике это называется метрика. И всё там сказано.
Ну и да, никто не говорил, что речь идёт об евклидовых пространствах.
И если мы не евклидовом - то в каком? Ни на пространства Лобачевского, ни Минковского это не смахивает.
Расстояние (метрика) - это функция, которая получает на вход 2 точки (на самом деле вектора, но не заморачивайся), а выдаёт число. При этом эта функция должна быть равна нулю только для одних и тех же точек, результат не должен зависеть от того, в каком порядке мы берём эти точки, а ещё должно выполняться неравенство треугольника.
Расстояние ab=bc=ac(и то и другое - диамерт)
В свою очередь неравенство треугольника гласит.
В свою очередь это означает, что окружность abc - прямая.
А что значит понятие "между"? И что такое прямая?)
Просто в вашем определении используется терминология из евклидовой метрики. В других метриках это не верно.
И да, ab и bc - не диаметры, а просто дуги окружности, длина которых равна диаметру.
Я так понимаю это squirt(x^n+y^n), корень степени n.
Так?
Получается Pi будет фигура, максимум которой в точках 1 и inf. Но если есть максимум, должны быть и минимумы, так? Где же(и какой) минимум у этой функции и как отобразить графически?
Стоп-стоп-стоп. Во-первых, да, расстояние считается так. Во-вторых, пи - это число, а не фигура. И соответственно, в-третьих, я не понял, о чём идёт речь дальше) Что за максимум фигуры? Какая функция?)
Неправильно сказала.
Функция pi(m) где m- размерность метрики 1,2,3,...n, neZ
Я имела в виду не фигуру, а график pi(m), как он будет выглядеть.
И есть где-то доказательство всей этой фигни, хочу почитать на досуге.
Насчёт графика точно не скажу, не видел. Там длина окружности весьма нетривиально считается, но я думаю, кто-то до нас это уже проделал, так что гугление поможет) Если мне не изменяет память, для разных метрик пи вообще может лежать в пределах от 2sqrt(2) до 4. Но за точность нижней границы не ручаюсь.
А в нулевой метрике неопределенность?
Я искала - не нашла.
А интересно было бы почитать теорему пифагора в метрике 3, 4 и т.д.
Нулевой метрики никогда не встречал, не знаю, что такое, как и не знаю, что такое корень нулевой степени)
А теорема пифагора простая: a^n + b^n = c^n, для любых n, кроме 1 и бесконечности.
А какие доказательства нужны?) Если расстояние между точками считается, как (x^n + y^n)^(1/n), то его энная степень равна тому, что я написал. Как раз и получается прямоугольный треугольник из отрезка от нуля до заданной точки и катетов в виде координатных отрезков.
@nbvehbectw, @Limonium, Зная, что ваши способности в матане лучше моих и вы хорошо знаете меня, не могли бы вы помочь мне объяснить этот пост...
Если она будет соответствовать всем требованиям из определения метрики, то да. Но с логарифмами, думаю, вряд ли прокатит.
Хватит перемешивать все разделы математики. В данном случае x и y - это первая и вторая координаты вектора, то бишь числа. А не переменная и функция.
Нет, не будет. Только что взяла интеграл от этой функции и разделила на радиус, получилось 2^-(1/3)
Не 2^-(1/3), а 2^(1/3).
Значит в этой метрике формула l=integrate ( sqrt(1+y'^2)dx) не работает. Скорее всего там будет третья степень.
По ходу выражение которое определяет длину в этой метрике будет dl=(1+y'^3)^(1/3)dx
Но взяв интеграл от -1 до 1 по этой функции ряд получается дивиргентом.
Херня какая-то получается.....
А вот для степени 4, хоть интеграл и не берется, но выходит отличный ряд Тейлора. Интегрируя его получаем отличное значение pi в 4-х метрике.
Я как-нибудь разберусь с этим и постараюсь график начертить как ты и хотела. Хотя не знаю получится ли. Времени мало.
Естественно, он не берётся, ведь должно получиться иррациональное трансцендентное число, скорее всего)
Я щас не дома, и мне лень самому думать и считать по этому поводу, так что удачи) Только найди, как бы удобно такую фигуру параметризовать...
Так трансцендетное число может получится и при обычном, берущимся интеграле.
При n=2 получается красивый интеграл, площадь которого [-1;1] и равна pi.
Это потому что при n=2 разработали математический аппарат и вели специальные функции) А ведь число пи всё равно напрямую никак не посчитаешь. Так что можно поступить так же и просто обозначить какой-то новой буквой число, равное вот такому вот интегралу, так часто делается.
Я, да и думаю моя подруга, не совсем поняли суть этой метрики.
Ведь эмпирически доказано, что мы живем в метрике n=2. Т.к. теорема пифагора выполняется при квадратах числел. Где и как существуют другие метрики?
А про трансцендентное число - да, оно будет трансцендентным при n>2. Это следует из теоремы Ферма(великой конечно же).
Вообще-то p-нормы Гёльдера существуют не только для натуральных чисел. Просто для любых вещественных p>=1.
Вот это я вообще не понял.
Во-вторых, теорема Ферма говорит о корне уравнения, а не о интеграле.
Так интеграл мы берем из уравнения x^n+y^n=r^n. Корнем такого уравнение может быть только число трансцендентное, если не ошибаюсь.
Эм, нет. Можно взять x=y=(1/2)^(1/n), r=1, а это алгебраические числа.
Скажи, а почему у тебя модули?
Скажи, вас этому в универе учат?
Про трансцендентность...хм. Да, я был не прав. Я почему-то подумал что если два числа уравнения - целые, то третье должно быть трансцендентным. Даже не знаю почему.
Модули, потому что они там есть по определению. У квадратов их тоже надо ставить, ибо координаты могут быть и комплексными.
Да, учат. Конкретно нормы Гёльдера были в конце 2 семестра в курсе линейной алгебры.
В первом семестре был Паскаль, во втором - Ассемблер, сейчас Си. В следующем вроде будет C++, дальше не знаю.
По одному языку на семестр? Понятно.
А что на счет аналогового программирования?
Тебе три года учится?
Не думаю, что будет. Все-таки ЭВМ более распространены, чем АВМ.
Еще три, всего четыре. Это как минимум, если в магистратуру не пойду. А я пока не знаю, пойду ли.
На общагу деньги нужны
На питание деньги нужны.(Благо хоть это в Москве дешевое)
На взятки ментам деньги нужны.
Ну 1 раз на билет скопить несложно.
Общага - копейки.
Питание - это уж смотря какие аппетиты будут)
Про ментов вообще не понял.
С зарплатой 200 евро - сложно.
Так, что бы общагу снимать нужно работу в москве найти(Кто знает - это возможно?)
Ну...Криминальная Россия, РТР, многие европейские сми любят говорить про уровень коррупции в России и особенно российских ментов, которые колотят и забирают в участок и там с противогазом заставляют подписать протокол)
Общага в МГУ стоит какие-то копейки в районе 1,5к за год)
И чёт я уже столько лет в Москве живу, а всё никак менты не загребли пока ни разу =(
1.5к рублей надеюсь? У нас такие же деньги в евро.
=(
Ну вы и неудачник. Это же надо! Жить в Москве и не иметь дело с ментами....
Скажи, а бесплатно всем или тем кому за 25 надо платить?
Может n=2 это лишь наше представление пространства, подобно тому, что мы не можем представить 4-Д пространство.
@G0nZaleZ, @miljonscom, не прошло и года...
В общем, мне приспичило вывести общую формулу отношения длины окружности к ее диаметру для Lp. Вывод вкратце написан на картинке, вот итоговая формула (если я не ошибся, конечно):
π(p) = 2integral(0 to 1)(1+(x^(p(p-1))/(1-x^p)^(p-1)))^(1/p)dx (я считал четверть длины окружности, так что в числителе вылезла 4, а диаметр в знаменателе равен 2, так что в итоге там умножение на 2)
Выразить это без интеграла не вышло, как и записать производную в общем виде. Но зато вольфрам справился с подсчетом конкретных значений. Вот некоторые:
π(1.000) = 4
π(1.010) = 3.972644221725112
π(1.100) = 3.757084367281182
π(1.500) = 3.259767993058995
π(1.900) = 3.144640577693381
π(1.990) = 3.141620462960406
π(1.999) = 3.141592929187273
π(2.000) = 3.141592653589793
π(2.001) = 3.141592928636630
π(2.010) = 3.141619912297847
π(2.100) = 3.144088071991777
π(2.500) = 3.185083548913127
π(3.000) = 3.259767993058995
π(10.00) = 3.733960809222704
π(100.0) = 3.871107728639609
В общем, очень похоже, что минимум функции равный привычному числу π достигается при p=2. Очень сомневаюсь, что это просто совпадение, что как раз при p=2 сформировалась наша Вселенная.
Во ты заморочился)
Но да, похоже на правду. Интеграл действительно не должен считаться аналитически, и значения вполне себе похожи. Думаю, такая метрика вместе с числом Пи доставляет минимум каким-нить многим энергетическим потенциалам, и потому подобная метрика наиболее выгодна в нашем пространстве. Т.е., возможно, в момент Большого взрыва наша Вселенная скатилась в некоторую потенциальную яму в плане кривизны метрики.
Да, тоже об этом подумал. Примерно как шар - оптимальная фигура в плане отношения объема к площади поверхности (во всех ли метриках, интересно). Только здесь это на уровень ниже. Правда, странно, что этот минимум попал прямо на целое число 2.
Так, где-то там при p>2 есть точка перегиба. Я хочу знать значение p и π в этой точке. Хотя бы примерно. Не знаешь каких-нибудь годных программ для интерполяции и прочей работы с такой лабудой? А то если самому писать, то это в долгий ящик.
Я вообще обычно через вольфрам математику всё делаю. Ещё, емнип, ориджин что-то такое может, но хз, я им никогда не пользовался.
Вольфрам прекрасен, но когда я давал ему эту формулу не с конкретными значениями, а при общем p, то он оказывался бессилен. А графики он вообще паршиво строит, по-дэбильному выбирая границы и масштаб, тем более разный по разным осям. Ориджин глянем, спасибо.
В общем, я загнал твой интеграл в вольфрам и попробовал построить график в диапазоне от 1.1 до 4. Вольфрам считал много часов и, судя по всему, где-то после тройки забуксовал)
Попробую на днях ещё задать диапазон побольше и посмотреть, что он будет делать в таком случае)
Ну, общем-то и так ясно, как график выглядит. Интереснее посмотреть на первую и вторую (может, и последующие) производные этой функции. Ибо строгого доказательства, что минимум в точке 2, у меня нет, а точность ±0.001 - это вообще не комильфо. Ну и вторую для точки перегиба, просто ради интереса.
Да тут, в принципе, и так понятно, что в 2 минимум будет. Мне лень насчёт строгого доказательства мучиться)
Производную-то посчитать не проблема, другое дело, что там опять будет какой-нибудь неберущийся интеграл, и всё равно решение уравнения pi'(p)=0 можно будет найти только численно.
Судя по графику подынтегральной функции, просто для больших p там основное значение интеграла сосредоточено в окрестности единицы, где он является несобственным, и потому-то вольфрам и тупит. Надо будет попробовать выставить верхний предел наподобие 0.99999 и посмотреть, что он выдаст.
Не, ну так незачем делать. На то он и несобственный: выкинешь особую точку с окрестностью, и можешь ошибиться хоть на бесконечную величину. Да и просто можно на окружность взглянуть: кажется, что немного отсекаешь, а на самом деле половину.
...
А вот и решение подоспело. Отсечь ровно половину, посчитать хорошенький интеграл Римана и потом просто умножить на 2. Осталось только выразить координату этой половины.
Собственно, x=(1/2)^(1/p).
UPD. Да, так определенно лучше. Раньше он сливался уже на 50, а теперь правдоподобно считает даже на 1000.
Ну вообще, численно несобственные интегралы так и считаются) Никто там не подставляет точку 1, просто берут близкую. И погрешность оценивается. Но мне лень считать =Ъ
Насчёт отсекания половины - ты слегка неправ, т.к. даже если функция там действительно симметрична относительно х=у, у тебя останется небольшой квадратик, который тоже надо прибавить.
Не понял, зачем что-то прибавлять? У графика с картинки мы длину считаем, если что. Сама подынтегральная функция по-другому выглядит.
У функции Plot есть куча разных параметров, позволяющих выбрать оформление графика, в том числе можно вручную задать масштаб, по-всякому их раскрасить и т.п.) Нажимай F1 и читай раздел Options)
Мне кажется, он должен построить график и для функции в виде интеграла. В крайнем случае, можно вручную замутить таблицу из нескольких сотен точек, а потом скормить её в Inteprolate)
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8...
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0...
Но в целом ты уловил суть: можешь написать любое выражение, удовлетворяющее этим свойствам, и это будет метрика. И вся общая теория метрики будет верна и для твоей собственной.
При чем тут дифференцирование и интегрирование?
ТС - topic starter, он же автор поста, он же G0nZaleZ.
Погоди. Дифференцирование - это операция над функциями, причем определена она далеко не для любых функций на любых множествах. Метрика - это отображение декартова квадрата произвольного множества на вещественные числа. Я понять не могу, где ты вообще увидел связь между ними?
В другой метрике функции же будут. И выглядеть они будут по другому.
В данном случае Круг будет задаваться формулой y=(r^3-x^3)^1/3
А, все, я тебя понял. Ну, производная - это предел отношения приращения значения функции к приращению аргумента при приращении аргумента стремящемся к нулю. Эти приращения, наверное, стоит измерять в той норме, что используется в пространстве. Но они будут коллинеарны соответственно оси y и оси x, то есть их координаты будут (0;Δy) и (Δx;0). А значит любая их норма Гёльдера будет равна Δy и Δx. То есть производные считаются так же.
ТС решил для простоты не различать норму и метрику, однако в этой ветке это уже существенно. Здесь для определения расстояния он использует метрику, определяемую через норму: ρ(a,b) = ||a-b|| (это всего одна из возможных, не думай, что она всегда будет такой). Также он не различает вектор и точку, хотя элементами линейного пространства являются именно векторы, и та разность, что стоит внутри нормы - это разность векторов. Соответственно, в твоем примере на картинке a-c = (-1;-1) - (1;1) = (-2;-2). По определению ∞-норма Гёльдера (ТС называет ее L∞) равна максимуму из модулей координат вектора, то есть расстояние между a и c равно 2. Аналогично, ρ(a,b) = ||a-b|| = ||(-1;-1) - (1;-1)|| = ||(-2;0)|| = 2. Ну и при 1-норме Гёльдера расстояние здесь тоже считается как норма разности векторов, но уже со своей нормой.
И мне все-таки кажется, что число π - это одна-единственная константа, и привязана она скорее к тригонометрическим функциям, чем к метрическим или нормированным пространствам. Да, отношение длины окружности к диаметру в разных пространствах разное, но его просто не стоит называть π.
Да мне, в принципе, пофиг. Пусть ездит на квадратных колесах, если у него пи=4, мне жалко что ли?
Ну, если я правильно понял идею, то это старый прикол: берем квадрат со стороной 1, окда? Его длина какая? Правильно, 4, а "диаметр" - 1. Сделаем его "круглее", получив такой крестик из пяти квадратов, потом еще круглее, и еще и еще... короче, получится такой обрисованный бесконечно малыми прямыми углами круг, как пиксели на мониторе. Радиус этого круга равен 1, а если мы просуммируем все стороны этих бесконечно малых квадратов, то получим, что длина его равна 4, ибо это по сути не круг, а лесенка.
Весь прикол в том, что такими последовательными приближениями не особо-то и круг получается.
Ноуп, ты неправильно понял)
Это не прикол, а вполне себе реальная математика. В разных метрических пространствах число Пи может быть разным.
Мэх, тогда читать пост придется, а мне лень ._.
Но по дефолту у нас расстояния как в школе меряются (ну, почти), так что пи почти три.
Ну а в посте просто как раз рассказано про те случаи, где расстояние меряется не "по дефолту", и пи совсем не почти три)
Не спорю, когда я что-то кому-то объясняю, то мне хочется его убить. Потому что объяснять не умею.
А теперь представь какого мне объяснять матан детям за деньги?
Единственное, что меня раздражает больше, чем преподавательство в моем исполнении - это дети и гопники. Так что при лучшем исходе я устрою кровавую баню, поэтому и не суюсь в репетиторы.
А теперь представь когда дети гопники.
Мне слава Аллаху более менее повезло с учениками. Но иногда сидишь и думаешь "Блллл ну что тут сложного? Я это за 30 с решу", или "Какой же ты тупой, как можно быть таким тупым", а сидишь - и улыбаешься. Иногда хочется дать задачку и выйти погулять на пол часа пока он/а ее решат.
Вот я тоже улыбаюсь в такой ситуации. А в голове крутится картинка как я этому говнюку тупому голову отпиливаю.
То же самое, ибо если девочка тупая как пробка, ее внешние параметры для меня обнуляются
Ну, у нас были проблемы в 11 классе с физикой (физичка в конце года спешно ретировалась в закат) и пришлось с другом несколько уроков провести. Там хоть отдушина была - дал классу самостоятельную и с чистой совестью расставил двойки, ибо они нихера не знают (не всем, конечно, были и умненькие).
А так были моменты вроде "ну ты ж типо умный, объясни мне/другу/родственнику".