Критерии равномерного распределения⁠⁠

Тут тебе не ответы@майл.ру

Вы самое слабое звено, прощайте.

Ты наверное забыл сказать "Если для любого k".

Может быть попробовать как-то так:

По сути тебе сказали, что все моменты случайной величины существуют и дали прямо-таки последовательность их конкретных значений.

k-тый момент совпадает с k-той производной хар-функции твоей случайной величины в нуле.

Теперь тебе известны все производные в нуле для хар. функции (и известно значение в нуле) -> тебе известно разложение хар. функции в степенной ряд.

Единственность разложения -> тебе известна хар. функция.

Единственность хар. функции -> тебе известно распределение.

Может быть по дороге какие-нибудь технические нюансы возникнут, но как-то так, наверное, можно доказать.

Оно стремится к матожиданию(по сути следствие из центральной предельной теоремы). Посчитай матожидание от x^k при распределении x равномерно от 0 до 1.  

Никак. Смирись. Жизнь - тлен.

Смотря кому...