Техника Оригами. Математика Оригами. Правила Фудзиты. Оригами и космос. Миура-ори.⁠⁠

Доброго дня, пикабушники и, в частности, участники Лиги Оригами. Сегодня хотелось бы приоткрыть вам дверь в такую область, как использование Оригами в научных целях, ведь Оригами из довольно узкоспециализированного искусства влилось во многие сферы науки и жизни, которые вы, порой, не замечаете и даже не догадываетесь об этом.

Искусство складывания из бумаги, или оригами, насчитывает уже несколько сотен лет. В последние десятилетия в данном виде искусства стали использоваться достижения математики. Подобные исследования занимаются вопросами различных геометрических построений и во многом похожи на соответствующий раздел математики — построения с помощью циркуля и линейки. Помимо этого, математика оригами решает вопрос о возможности плоского складывания, а также вопрос о возможности твердого складывания какой-либо модели. Данные работы, кроме чисто академического интереса для математиков имеют и практическую ценность как для оригамистов, так и для инженеров.

Геометрические построения.

Согласно классическому оригами, объектом складывания является неразмеченный квадратный лист бумаги, без разрезов.

С точки зрения математики оригами, целью оригамиста является точное определение местоположения одной или более точек листа, задающих складки, необходимые для формирования окончательного объекта. Процесс складывания подразумевает выполнение последовательности точно определенных действий по следующим правилам:

-Линия определяется либо краем листа, либо линией сгиба бумаги.

-Точки определяются пересечениями линий.

-Все складки определяются единственным образом путём совмещения различных элементов листа — линий или точек.

-Сгиб формируется единственной складкой, причем в результате складывания фигура остается плоской.

Последний пункт сильно ограничивает возможности складывания, разрешая только одну складку за раз. На практике даже простейшие модели оригами подразумевают создание нескольких складок за одно действие.

Правила Фудзиты  — набор из семи правил, формально описывающие геометрические построения с помощью плоского оригами, подобным построениям с помощью циркуля и линейки (евклидова геометрия).

Фактически они описывают все возможные способы получения одной новой складки на листе бумаги, путём совмещения уже существующих различных элементов листа — точек и линий. Под линиями подразумеваются края листа или складки бумаги, под точками — пересечения линий. Существенным моментом является то, что сгиб формируется единственной складкой, причём в результате складывания фигура остается плоской.

Часто эти правила называют «аксиомами», хотя с формальной точки зрения аксиомами они не являются. Складки в этих правилах существуют не всегда, правило утверждает только, что если такая складка есть, то её «можно» найти. Итак, сами правила:

Замечания к правилам Фудзиты.

Все складки в этом списке можно получить как результат последовательного применения правила №6. То есть для математика они ничего не добавляют, однако позволяют уменьшить количество сгибов. Система из семи правил является полной, то есть они описывают все возможные способы получения одной новой складки на листе бумаги, путём совмещения уже существующих различных элементов листа. Это последнее утверждение было доказано Робертом Лэнгом - американским физиком и выдающимся оригамистом.

Возможные и невозможные построения.

Все построения являются ничем иным, как решениями какого-либо уравнения, причём коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому удобно говорить о построении числа — графического решения уравнения определенного типа. В рамках вышеописанных требований, возможны следующие построения:

-Построение решений линейных уравнений.

-Построение решений квадратных уравнений.

-Построение решений кубических уравнений (правило №6).

Иначе говоря, возможно построить лишь числа равные арифметическим выражениям с использованием квадратного и кубического корней из исходных чисел (длин отрезков).

В частности, при помощи таких построений можно осуществить удвоение куба, трисекцию угла, построение правильного семиугольника. Решение задачи о квадратуре круга однако остаётся невозможным, так как "πи" — трансцендентное число.

История возникновения правил Фудзиты:

Основное правило (номер 6) было рассмотрено Маргеритой Пьяцолла Белок, ей же принадлежат первые построения трисекции угла и квадратуры круга с помощью оригами-построений. Складки Белок достаточно для того чтобы получить складки во всех остальных правилах.

Полный список правил появляется в работе Жака Жюстина, который позднее также ссылался на Питера Мессера как на соавтора. Практически одновременно правила 1—6 были сформулированы Фумиаки Фудзитой, под чьим именем они известны до сих пор. Последнее седьмое правило добавил ещё позже Косиро Хатори.

Вариации и обобщения.

Список возможных построений можно значительно расширить, если позволить создание нескольких складок за один раз. Хотя человек, решивший провести несколько складок за одно действие, на практике столкнется с трудностями физического порядка, тем не менее возможно вывести правила, аналогичные правилам Фудзита и для этого случая.

При допущении таких дополнительных правил, возможно доказать следующую теорему:

"Любое алгебраическое уравнение степени "n" может быть решено "(n-2)" одновременными складками."

Представляет интерес, возможно ли решить то же уравнение складыванием, вовлекающим меньшее количество одновременных складок. Это, несомненно, верно для n=4 и неизвестно для n=5.

Приближенные построения и решение проблем солнечных батарей.

С практической точки зрения, приближённые построения представляют ничуть не меньший интерес, чем математически строгие. В большинстве реальных приложений, ошибки в расстояниях менее 0,5 % стороны квадрата редко имеют значение. К тому же, важным критерием того или иного метода построения является его ранг — количество складок, необходимых для того, чтобы отложить заданную пропорцию. Желательно также по возможности оставить внутреннюю область квадрата не мятой, создав лишь небольшие метки по краям листа. Проблема жёсткого оригами, рассматривающее складки как петли, соединяющие две плоские, абсолютно твёрдые поверхности, подобные жестяным, чрезвычайно важна практически. Например, Миура-ори — схема жёсткого складывания, которая использовалась для развёртывания больших установок солнечных батарей на космических спутниках.

Миура-ори (ミウラ折り) — схема жёсткого складывания, которая использовалась для развёртывания больших установок солнечных батарей на космических спутниках. Она была представлена японским астрофизиком Корё Миурой в 1970 году. Сейчас также используется для складывания бумажных документов, в частности карт местности. В отличие от обычных методов складывания карт, складки миура-ори расположены не перпендикулярно, а слегка под наклоном друг к другу. В результате такую карту можно развернуть и свернуть одним движением, а отсутствие многослойных складок уменьшает нагрузку на бумагу. Это хороший пример практической важности жёсткого оригами, рассматривающего складки как петли, соединяющие две плоские, абсолютно твёрдые поверхности:

В следующем посте я расскажу вам о Роберте Лэнге - известном оригамисте, который использует в своих работах данные математические правила: http://pikabu.ru/story/istoriya_origami_robert_lyeng__teoret...