Имеет ли право?⁠⁠

Я не юрист, так что только домыслы.
Если "по закону", то бабушка это "родственник". И не "официальный опекун", "родитель".

В детском саду от нас, родителей, спросили ксерокопии паспортов и телефоны всех тех людей, включая нас, которые могут забрать ребенка из садика. Т.е. бабушку они просто завернули бы, т.к. формально родители разрешения не давали.
За исключением тех случаев, если бабушка является официально опекуном, конечно.

Предполагаю, в случае с няней так же.

Отдавать любому кроме родителей можно только с согласия и заявления родителей. У нас просят копии паспортов возможных забиральщиков и св-ств о рождении (если братья, сестры забирают). Копии в нагрузку к заявлению родителей.

Обычно в садик подается перечень всех лиц, кому можно отдать ребенка. Все остальные пойдут лесом

Если в садике, то вроде родитель/опекун заявление пишет где указывает кому можно отдать.

Особенно, если она его не брала )