Urbani7

Я много лет участвовал в математических олимпиадах, а затем проводил их. За эти годы мне повидалось много задач, в которых казалось дано слишком мало .. но при этом можно узнать всё что нужно. Здесь я приведу некоторые их них. Расположены они в порядке увеличение сложности(по моему мнению). Для их решения не нужно никаких знаний.. ну может быть в одной самые элементарные знания комбинаторики.

1. Джокер схватил любимую Бетмена, и сказал, что отпустит её, если Бетмен сможет выбрать некоторые из чисел написанные на стене его спальни, перед каждым из выбранных поставить + или -, чтобы получившееся выражение делилось на 1001. Сможет ли Бетмен спасти свою девушку, если на его стене написано ровно 10 чисел?
2. Пока девушка ждала спасения, Джокер предложил ей сыграть с ним в игру. На доске написано 20 чисел в ряд. Ходят игроки по очереди. За ход можно стереть либо самое правое, либо самое левое число и записать его в свой блокнот. После 20 ходов на доске не остается чисел, а в блокнотах написано по 10 чисел. Проигрывает тот, у кого сумма чисел в его блокноте меньше. Кто может не проиграть, при правильной игре, если первый ходит Джокер?
3. Тем временем Пингвин поймал 100 человек и сказал:
*Я дам вам шанс спастись. Каждому из вас я напишу на лбу число и заклею рот. Вы сможете видеть, что написано у других людей на лбу, но не сможете видеть своё число. А затем каждый из вас скажет мне, какое число он думает у него на лбу написано(при этом остальные не будут этого слышать). Если хотя бы один из вас отгадает, я вас отпущу. До того, как я напишу числа вы можете общаться между собой, но после того, как напишу, только смотреть на числа написанные у других на лбу.* Смогут ли люди спастись?
4.Тем временем Бейн(да, я знаю, только 3 противников Бэтмена) решил уничтожить главу Готема, поэтому схватил мера Готема и его помощника и ввел им в кровь яд, который убьет их через день. Но так как Бетмен был занят спасением своей девушки, он решил сам дать меру возможность спастись. Он сказал меру и его помощнику 2 натуральных числа, которые отличаются на 1(и они это знают). Он по очереди задает им вопрос: Ты знаешь, какое число у другого парня?. Когда кто-то ответил *да*, он должен это число сказать, и если он окажется прав, тогда Бейн введет им противоядие( а если ошибется, то даже Бетмен не спасет). Известно, что за день он успеет задать не меньше 2000 вопросов, хотя числа у обоих меньше 1500, а яд сделал обоих настолько умными, что если они могут логически понять, какие у другого числа, то они поймут. Смогут ли они спастись?
5. Тем временем в канализации люди не смогли угадать числа, написанные на лбу, потому что были заняты спором, кто круче: Бетмен или Супермен? Тогда пингвин решил дать им второй шанс.
*Я дам вам время договориться между собой, как действовать, а затем разведу по разным камерам, где вы не сможете между собой общаться и видеть друг друга. Иногда, я буду вести одного из вас в комнату, где нет ничего, кроме лампочки, которую можно включить или выключить. После чего вести обратно в камеру. Притом с течением времени в комнате каждый человек побывает сколько угодно много раз. Если в какой-то момент кто-то скажет мне, что он думает, что все люди там побывали и будет прав, то я вас отпущу. А если он ошибется- убью.* Как бедным жителям Готэма спастись?