1. Медь. Слово с тёмной этимологией. От праславянского слова *mědь происходят русское медь, а также украинское мідь, белорусское медзь, болгарское мед, сербохорватское мје̏д, словенское mẹ̑d, чешское měď, словацкое meď, польское miedź, нижнелужицкое měź, верхнелужицкое mjedź. Этот круг родственников - единственно достоверный. Далее пытаются сравнивать с пра-и.е. *may- "рубить, отрубать", связанным со *smēy-, *smī- с подвижным *s, откуда в прагерманском происходит *smiþaz "кузнец", далее английское smith, нидерландское smid, немецкое Schmied, шведское, датское и норвежское smed, исландское smiður и др. Того же происхождения древнегреческое σμίλη "резец, долото". Есть множество других версий, из которых, пожалуй, одна заслуживает особого внимания. Это версия о происхождении праславянского *mědь от названия страны Мидия, где была развита медная металлургия (Мидия включала меднорудные районы Закавказья). Эта гипотеза В. И. Абаева связывает славянское слово с иранским Mādа или греческим Μηδία. Подобным образом латинское cuprum "медь" связано с названием острова Кипр - Κύπρος.
2. Металл. Через немецкое Metаll или французское métal это слово происходит из латинского metallum "металл", от древнегреческого μέταλλον "копь, жила, шахта, рудник". Этимология последнего слова также не совсем ясна. Сомнительны попытки связывать его с глаголом μεταλλάω "расспрашивать, разведывать" и далее раскладывать на μετά "между, среди" и ἄλλος "другой, иной". Вероятно, это древнее пеласгское заимствование.
3. Медаль. Через французское médaille, из итальянского medaglia восходит к позднелатинскому medalia "полдинара". Последнее слово происходит от того же латинского metallum, из древнегреческого μέταλλον.
Собственно говоря, вся проблема в слове μέταλλον. До сих пор не установлено, связано ли оно каким-либо образом с корнями из первого пункта. Попытки сравнивать, конечно, предпринимались. Мы здесь будем исходить из того, что этой связи нет, покуда она не установлена. Таким образом, достоверно родство только слов металл и медаль, слово медь к ним отношения, скорее всего, вообще не имеет.