Давайте для начала оговоримся, что начинаем мы с рациональных чисел. Рациональные числа обладают следующими свойствами: их можно складывать, вычитать, умножать, делить на ненулевое рациональное число. Относительно операции сложения и умножения они образуют поле. Также это поле имеет отношение линейного порядка, согласованное с умножением, и норму (функция модуль). Надеюсь, что и определение предела последовательности для вас знакомо. Далее немножко картинок, ибо пикабу не умеет в латех

Указанные на картинке проверки не очень сложные, но их крайне полезно сделать для понимания, если хотите разобраться. Например, вообще говоря, сразу может быть не очевидно, почему есть деление на ненулевой элемент.

В вики плюс-минус эта схема описана.

Дальше, можно вводить и бесконечные десятичные дроби как представитель конкретного класса. Или сечения Дедекинда. Потом можно показать, что для вещественных чисел критерий Коши работает, то есть любая фундаментальная вещественная последовательность имеет вещественный предел, и в целом развивать классический матан как мы его знаем.

10000x-x = 123456,789(6789)-12,345(6789)= 123444,444.

Откуда x = (123444,444)/9999 = 123444444/9999000.

Как и в первом посте, здесь есть тот же самый вопрос почему можно вычитать разные бесконечные десятичные дроби друг из друга. Но на самом деле здесь можно. Во втором посте есть нормальное обоснование через пределы.

Наличие этого алгоритма в свою очередь показывает довольно важный свойства позиционной системы счислени:

1. Каждая периодическая дробь является рациональным числом. Замечу отдельно, что мощность множества периодических дробей счетная.

2. Каждое рациональное число может быть представлено бесконечной периодической дробью (придумайте как это сделать, это не сложно).

Однако есть и неприятный момент, он же в-третьих, на него указывает первый пост. А именно, что нет однозначности в выборе этой самой бесконечной периодической дроби. И, насколько я знаю, это не возможно исправить каким-то разумным способом.

Сумма бесконечного числа слагаемых бесконечна.

Что ж, нам остается лишь показать, почему это не так.

Важное замечание. Слова "последовательность" и "предел" имеют строгое значение в математическом анализе, однако полное изложение основ анализа остается за рамками этого поста. Кроме того, я буду пользоваться некоторыми фактами о последовательностях, не приводя их доказательств. Желающие могут вывести их самостоятельно или обратиться к любому учебнику математического анализа.

Бесконечная последовательность чисел, которую мы хотим просуммировать, называется числовым рядом. Не всякий числовой ряд имеет конечную сумму. Но что есть сумма бесконечного числа чисел вообще?

Мы хорошо понимаем, что такое сумма конечного числа слагаемых, и можем вычислить ее за конечное время. Если мы попытаемся непосредственно вычислить сумму ряда, то никакого конечного времени нам не хватит. За конечное время мы можем лишь просуммировать несколько первых элементов ряда. Будем называть такие значения частичными суммами. Частичные суммы ряда образуют последовательность.

Для примера рассмотрим числовой ряд 1, 0.1, 0.01, 0.001 и т.д., тогда последовательность его частичных сумм имеет вид: 1, 1.1, 1.11, 1.111 и т.д.

А теперь определение:

Таким образом, вопрос суммирования бесконечного количества слагаемых сводится к нахождению предела последовательности.

Найдем предел нашей последовательности частичных сумм. [Отметим, что он равен 1.(1), однако в силу сложившейся неоднозначности в понимании этого обозначения мы не будем его использовать.] Для этого воспользуемся уже доказанным фактом: последовательность 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999 и т.д. сходится и имеет предел, равный 1. Также будем пользоваться тем, что последовательность можно почленно умножить на одно и то же число: это не влияет на сходимость, и предел новой последовательности равен пределу исходной, умноженному на то же число. Имеем:

0.9, 0.99, 0.999, 0.9999 ... -> 1, разделим на 9 (умножим на 1/9):
0.1, 0.11, 0.111, 0.1111 ... -> 1/9, умножим на 10:
1, 1.1, 1.11, 1.111 ... -> 10/9.

Таким образом, предел последовательности частичных сумм существует и равен 10/9. Это означает, что ряд имеет конечную сумму (сходится):

1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + ... = 10/9

Возвращаясь к Ахиллесу и черепахе, мы можем убедиться, что Ахиллес догонит черепаху через t + 0.1t + 0.01t + 0.001t + ... = 10/9 * t времени (ряд можно умножать на число так же, как и последовательность). Тем самым утверждение Зенона математически неверно, и противоречия не возникает.

Может показаться, что суммы бесконечных рядов подчиняются тем же правилам, что и конечные суммы, но это не так. В качестве примера приведу красивую теорему (разумеется, без доказательства).

Теорема Римана об условно сходящихся рядах.
Пусть дан числовой ряд, который сходится условно, тогда для произвольного числа можно так поменять порядок элементов ряда, что сумма нового ряда станет равна этому числу. Более того, можно так переставить элементы ряда, чтобы сумма ряда стремилась к положительной или отрицательной бесконечности или же вовсе не стремилась ни к какому пределу, конечному или бесконечному.

Простыми словами: в некоторых сходящихся рядах перестановка слагаемых может привести к изменению суммы ряда. Разумеется, для конечных сумм порядок суммирования не играет роли.

Enjoy)