Выводим формулы квадратов и кубов / Анимация⁠⁠

Пока решал задачи на упрощение выражений из Сканави, то заметил, что там первые примерно 400 штук из них так или иначе задействуют формулы сокращенного умножения (с квадратами и кубами) Но даже после первой сотни решенных все-равно периодически путаешься со знаками. Где плюс, где минус? А если ошибаешься в знаке — всё решение неправильно.

В школе нам вдалбливали: «Выучи! Просто запомни!».
Но зубрёжка — это как строить дом на песке: кажется, что всё держится, пока не подует ветер. Или не придётся решать задачу под давлением времени на экзамене или… через 25 лет после школы.

Запоминание этих формул как аксиомы просто не работает. Они будут вылетать из памяти в самый неподходящий момент из-за слишком малого количества зацепок при визуальном запоминании. Чтобы прочно запомнить надо углубиться в их структуру.

Поэтому одна простая идея, которая избавит от вечной путаницы:

Не заучивай — выводи.

Все эти «формулы сокращённого умножения» — просто результат умножения скобок и всё.

Например, «квадрат суммы» — это (a + b) × (a + b). Перемножаем вручную:

• a × a = a²

• a × b = ab

• b × a = ab

• b × b = b²

Складываем: a² + 2ab + b².
Двойка посередине — два одинаковых ab!

То же с «квадратом разности»: там просто один из b отрицательный, и при перемножении ab и –ab дают минус. Всё логично.

А «разность квадратов» (a – b)(a + b)?
Там ab и –ab взаимно уничтожаются, и остаются только края: a² – b². Как в дзен-буддизме: середина исчезает, истина остаётся.

С кубами чуть сложнее, но и там нет магии:

• Куб суммы — это (a + b) в третьей степени. Можно умножить квадрат суммы на (a + b) ещё раз — и получить a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

• Сумма кубов — это совсем другое: a³ + b³. И чтобы её разложить, нужно умножить «короткую» скобку (a + b) на «длинную» (a² – ab + b²). Почему? Потому что все промежуточные слагаемые съедают друг друга, как в разности квадратов.

Запомнить просто:

• Знак в кубах → такой же в первой скобке.

• Во второй скобке — всегда противоположный.

А ещё интересный факт:
Формулы «суммы квадратов» нет.
Почему?
Потому что нет таких скобок из действительных чисел, которые при умножении дадут a² + b² и при этом уберут середину. (Хотя в комплексных числах — да, но это уже другой раздел задачника.)

Вывод

Математика — это не список заклинаний, которые надо выучить наизусть.
Это логика, которую можно восстановить в любой момент, даже если память не работает.

Нужно всего три вещи:

1. Уметь умножать многочлены (это база).

2. Не бояться раскрыть скобки на черновике.

3. Понимать, почему формула устроена так, а не иначе.

После пары таких «выводов» формулы запоминаются сами — потому что вы их не заучиваете, а переживаете.