Стартуем с орбиты МКС с разными скоростями⁠⁠

Сразу оговорюсь. Я понимаю, что всё нижеприведённое - детский сад по сравнению с расчётами, которые выполняют перед полётом реальных космических аппаратов. Но иногда хочется самому поиграться с числами в меру своих возможностей и компетенции. И вот подумал - выложу сюда, глядишь, кому-то будет тоже любопытно лишний раз убедиться, что всё работает. )

Как-то зимними вечерами я начал размышлять про то, что любая каменюка, которая прилетела на Землю, имеет минимальную скорость, равную второй космической (11 км/с), и нет у неё никакой возможности подобраться "по-тихому", с меньшей скоростью. Поскольку Земля - гравитационная яма такой "глубины".

Потом дошло, что простой подход к вычислению второй космической скорости на самом деле не настолько тривиален, как может показаться. Ведь как мы обычно поступаем? Берём формулу потенциальной энергии Eп = -GMm/R, подставляем бесконечное R, где потенциальная энергия равна нулю, вычитаем энергию при R = радиусу Земли, приравниваем эту разницу кинетической энергии m*v^2/2 и получаем простую формулу для второй космической:

v = (2GM/R)^0.5

Казалось бы, всё в порядке. Однако не все понимают, что мы тут неявно пользуемся рассуждением о том, почему мы пренебрегаем кинетической энергией, которую получает Земля при таком взаимодействии. А ведь и правда, почему мы можем этим пренебречь? Ведь импульс M*V Земля получает тот же самый (по модулю), что и разогнавшееся тело - m*v. Но если сравнить кинетическую энергию, которую получает Земля, выяснится, что она в M/m раз меньше кинетической энергии тела, и значит для любых разумных масс m ею можно пренебречь, и формула для второй космической становится верной, с высокой точностью.

Следующая мысль была такой - ну хорошо, если каменюка прилетает лоб в лоб Земле, то она имеет скорость 11 км/с. Ну а если она пролетает рядом, например по касательной к орбите МКС, то вроде как понятно, что её минимальная скорость тоже будет 11 км/с (это понятно из того же сохранения энергии), но мне захотелось это напрямую промоделировать исходя лишь из притяжения Земли с силой GMm/R^2, благо задача несложная, а компьютер - штука тупая, но очень быстрая - и поможет мне всё это нарисовать.

Сказано - сделано. Сделал расчет в цикле, где тело стартует с некой начальной скоростью v0 с орбиты МКС (взял радиус от центра Земли = 6700 км), и далее делаю следующее: пролетаю в течение малого времени dt с текущей скоростью (то есть перемещаю его на v*dt), затем векторно прибавляю к скорости произведение ускорения на dt, и на этом собственно всё, перехожу к следующей итерации. Все расчёты векторных величин веду в проекциях на X и Y.

Для начальной скорости 7.7 км/с получилась такая картинка (вторую половину эллипса я не рисую): круговой облёт Земли на расстоянии 6700 км от центра. Посчитал для такого радиуса, на всякий случай уточнил в интернетах - совпало со скоростью МКС, всё в порядке.

Далее - начинаем увеличивать начальную скорость с шагом 50 м/с. При v0 = 9.45 км/с наш эллипс доходит до орбит спутников GPS - 20 тыс. км, касаясь их на скорости 3.2 км/с, и потратив на половину эллипса 2.1 часа:

На следующем рисунке объединены несколько полуорбит с начальными скоростями от 10.65 до 10.85 км/с (с шагом 0.05). Параметры приведены на рисунке. Для ориентира приведено расстояние до орбиты Луны (разумеется, без учёта её нахождения в том месте и гравитационного поля от неё):

И наконец рисунок в последнем масштабе - Земля уже занимает несколько пикселей с левого края рисунка. Две начальные скорости - 10.90 и 10.95 км/с. В первом случае крайнее расстояние до планеты составило 1.5 млн.км, во втором - тело наконец отрывается от Земли и улетает в космос. Расчёты, разумеется, неточные, все эти пошаговые вычисления могли накопить ошибки (и накопили), но порядок крайней величины, исходя из второй космической скорости для R = 6700 км, получился верный - 10.9 км/с.

И в конце приведу график, в котором просуммированы все расчёты в виде трёх графиков (чтобы уложить их на одну вертикальную ось, я сделал её в логарифмическом масштабе) спустя половину периода обращения: скорость V end, время t, расстояние до центра Земли R_end. Например по графику видно, что при начальной скорости 10.1 км/с тело коснётся геостационарных орбит через 5 часов на скорости менее 2 км/с.