Отличия школьной алгебры от высшей⁠⁠

зря опять закусил удила, и зря распинался. но раз столько накропал, пусть будет копия у меня. вдруг сломает кому-то мозг.

ответ комменту #comment_318757214

Вы просто до того привыкли отождествлять ноль (или нуль) нейтральному элементу, поэтому в голове не приходят никакие другие возможности.

высшая алгебра и школьная алгебра вещи разные.

пример:

1. множество N состоит из трех элементов: {"ноль", "минус ноль", "нуль"}

2. вводим операцию с символом "х" на множестве N (изображение из <N,N> в N):
"ноль" х "ноль" = "ноль"
"ноль" х "минус ноль" = "минус ноль"
"ноль" х "нуль" = "нуль"
"минус ноль" х "ноль" = "минус ноль"
"минус ноль" х "минус ноль" = "нуль"
"минус ноль" х "нуль" = "ноль"
"нуль" х "ноль" = "нуль"
"нуль" х "минус ноль" = "ноль"
"нуль" х "нуль" = "минус ноль"
(получили группу в высшей алгебре, абелевая, где "ноль" в качестве нейтрального элемента по операции "х")

3. вводим вторую операцию с символом "+" на множестве N

"ноль" + "ноль" = "ноль"
"ноль" + "минус ноль" = "ноль"
"ноль" + "нуль" = "ноль"
"минус ноль" + "ноль" = "ноль"
"минус ноль" + "минус ноль" = "минус ноль"
"минус ноль" + "нуль" = "нуль"
"нуль" + "ноль" = "ноль"
"нуль" + "минус ноль" = "нуль"
"нуль" + "нуль" = "минус ноль"
(получили кольцо/поле, где "минус ноль" в качестве нейтрального по операции "+")

вопрос 1: можно ли найти обратного элемента по операции "х" элементу "нуль"?
ответ 1: можно, это элемент "минус ноль", потому что "нуль" х "минус ноль" = "минус ноль" х "нуль" = "ноль" (нейтральный по "х")

вопрос 2: можно ли найти обратного элемента по операции "+" элементу "нуль"?
ответ 2: можно, это он сам, потому что "нуль" + "нуль" = "минус ноль" (нейтральный по "+")

домашнее задание на засыпку: проверьте все свои теоремы на множестве N с выше аксиоматизированными операциями "х" и "+".