Математические задачи. Выпуск №1.⁠⁠

Доброго дня, пикабушники!

В этих постах я буду примерно раз в неделю публиковать задачи различных математических олимпиад, турниров. Часть (надеюсь, небольшую) можно будет нагуглить с решениями, а для части опубликованных решений вы не найдете.

Формат будет следующий - 5 задач (2 попроще, 2 средние, 1 посложнее), а через неделю будет опубликованы следующие 5 задач и решение задач предыдущей недели. Если покажется мало - дозу увеличим.

Помимо привычных читателю еще со школы алгебры и геометрии будут публиковаться задачи по комбинаторике, теории чисел, теории графов, математической логике, индукции.

Успехов!

Задача 1. На гипотенузе AC равнобедренного прямоугольного треугольника ABC взяты такие

точки M и N (M между A и N), что угол MBN= 45°. Докажите, что MN^2 = AM^2 +CN^2

Задача 2. По окончании однокругового волейбольного турнира оказалось, что команды,

участвовавшие в нём, можно разбить на группы следующим образом: в первой группе –

одна команда, во второй – две, …, в k-й – k команд, при этом суммарное число очков,

набранное командами каждой группы, одно и то же. Сколько команд участвовало в

турнире?

Задача 3.  Пятизначное число, все цифры которого различны, умножили на 4. В результате

получилось число, записываемое теми же цифрами, но в обратном порядке. Какое это

число?

Задача 4. Имеется 1800 шариков – по 100 шариков 18 цветов. Первый играющий выбирает

один из шариков и даёт второму, который помещает его в одну из клеток доски 9 × 9. Если

при этом получается пять шариков одного цвета, стоящих подряд в строке или в столбце,

они снимаются с доски и больше в игре не участвуют. Если второму некуда поставить

шарик, то он проиграл. Если у первого кончились шарики, то проиграл он. Кто может

выиграть, как бы ни играл соперник?

Задача 5. Вершины замкнутой 1995-звенной ломаной совпадают с вершинами правильного

1995-угольника. Докажите, что у этой ломаной найдутся три равных звена.