42

Математические задачи. Выпуск №1.

Доброго дня, пикабушники!


В этих постах я буду примерно раз в неделю публиковать задачи различных математических олимпиад, турниров. Часть (надеюсь, небольшую) можно будет нагуглить с решениями, а для части опубликованных решений вы не найдете.


Формат будет следующий - 5 задач (2 попроще, 2 средние, 1 посложнее), а через неделю будет опубликованы следующие 5 задач и решение задач предыдущей недели. Если покажется мало - дозу увеличим.


Помимо привычных читателю еще со школы алгебры и геометрии будут публиковаться задачи по комбинаторике, теории чисел, теории графов, математической логике, индукции.


Успехов!


Задача 1. На гипотенузе AC равнобедренного прямоугольного треугольника ABC взяты такие

точки M и N (M между A и N), что угол MBN= 45°. Докажите, что MN^2 = AM^2 +CN^2

Задача 2. По окончании однокругового волейбольного турнира оказалось, что команды,

участвовавшие в нём, можно разбить на группы следующим образом: в первой группе –

одна команда, во второй – две, …, в k-й – k команд, при этом суммарное число очков,

набранное командами каждой группы, одно и то же. Сколько команд участвовало в

турнире?


Задача 3.  Пятизначное число, все цифры которого различны, умножили на 4. В результате

получилось число, записываемое теми же цифрами, но в обратном порядке. Какое это

число?


Задача 4. Имеется 1800 шариков – по 100 шариков 18 цветов. Первый играющий выбирает

один из шариков и даёт второму, который помещает его в одну из клеток доски 9 × 9. Если

при этом получается пять шариков одного цвета, стоящих подряд в строке или в столбце,

они снимаются с доски и больше в игре не участвуют. Если второму некуда поставить

шарик, то он проиграл. Если у первого кончились шарики, то проиграл он. Кто может

выиграть, как бы ни играл соперник?


Задача 5. Вершины замкнутой 1995-звенной ломаной совпадают с вершинами правильного

1995-угольника. Докажите, что у этой ломаной найдутся три равных звена.

Дубликаты не найдены

+5

Хотел подписаться, прочитал задачи, пожалуй, не буду.

+2

Сломался на прочтении условий первой задачи. Ну его нахер.

+1

21978

раскрыть ветку 3
0

Решал записью в виде суммы в столбик?

раскрыть ветку 2
0

нет, думал. расписать?

раскрыть ветку 1
+1

если первые 4 хотя бы понятно как решать, то с последнее вообще ничего не понятно

раскрыть ветку 6
+1

поскольку вершины ломаной и многоугольника совпадают, то из каждой вершины можно проложить отрезок в другие 1995-1 вершин. при этом 2 из них совпадут со сторонами многоугольника, т.е. будут равны. т.о. для каждой точки будет всего 1995-3 различных вариантов длинны.

раскрыть ветку 4
0

Не минус 2, а делить на 2. Многоугольник же симметричен, равенство не только на сторонах будет достигаться.

раскрыть ветку 3
0

а все, понял

0
0

друг! полдня вчера думал и сегодня только над первой задачей.. и никак не получается. АМ+NC=MN, это понятно. но как же я докажу требуемое? ведь получается MN^2=(AM+NC)^2, разве нет?(( куда деть 2*AM*NC?(( ответь, пожалуйста! кушать не могу((

раскрыть ветку 9
0

в самом начале ошибка: АМ+NC<>MN, вы перепутали с АМ+NC+MN = AC. А дальше начинается самое мясо.

Иллюстрация к комментарию
раскрыть ветку 8
0

wat? с чего вдруг ошибка?!

раскрыть ветку 7
0

2.

Если разбили на k групп то количество команд n=k(k+1)/2.

Один круг и если разыгрывается по 1 очку в каждой игре то всего разыграно n(n-1)/2 очков.

Соответственно каждая группа получила по n(n-1)/2k очков или (k+1)(n-1)/4

С другой стороны команда из первой группы участвовала только в n-1 игре и не могла получить более n-1 очка. Значит n-1>=(k+1)(n-1)/4, или k<=3.

При k=2 каждая группа должна набрать 1.5, но в волейболе ничьи не приняты.

Значит единственный вариант k=3 и в турнире было 6 команд.

0

1)Скажем, что C совпадает с N (не противоречит условию) -> BM - биссектриса (90/45=2), тк ABC равнобедренный, ещё и медиана -> AM=MN=x, CN=0 -> x^2=x^2+0^2.

2) 6?

3) 21978.

4) Второй игрок всегда имеет победную стратегию. Так как при 4 шарах всех 18 цветов остается 9 ячеек (9*9-4*18), что вполне позволяет в квадратном поле строить линии с противоположных концов по 4, оставляя одну строку (или столбец) для "выбивания" 5-ки.

5) Хз D:

раскрыть ветку 3
0

только твоё решение с нолём(я имею ввиду задачу 1) выглядит нормально. но оно имхо противоречит условию "между A и N"

раскрыть ветку 2
0
А решение верно только, если угол АВМ или угол NВС равны нулю. В остальных случаях бред полный. Но на истину не претендую
0
Не противоречит. М должна находится между А и N, а если N совпадает с С, ничего не говорится.
0

1. Отражаем треугольник ABM относительно BM, а треугольник CBN относительно BN. Так как сумма углов ABM и CBN равна углу MBN то отражения AB и AC попадут на один луч, а так как они равны по длине то отражение B совпадет с отражением C (обозначим эту точку X). Имеем XN=BN, XM=AM, угол BXM прямой как сумма двух 45. Требуемое вытекает из теоремы пифагора для треугольника BXM

5. Звенья ломаной могут иметь длину только равную стороне или диагонали правильного многоугольника. Таких длин 997, а звеньев 1995 > 997*2, а значит по принципу Дирихле найдутся 3 одинаковой длины.

раскрыть ветку 1
0

ну хоть ты со мной поговори... раз ТС не отвечает. скажи как у тебя сумма квадратов равна квадрату суммы? или что-то новое появилось за 20 лет в математике, а я и не знаю ни хрена(

0

1. Лень.

2. Нужно пояснение. Очки - только натуральные числа? Или могут быть нулем? Отрицательными? Если только натуральные, то вроде k(k+1)/2. Если может быть ноль, то можно и в k уложиться.

3. Лень.

4. 2 игрок может фасовать шары по цветам, складывая из них 18 столбцов, начиная с верхнего и с нижнего края. Центральная строка будет оставаться свободной, пока не будет дан пятый шар того же цвета. Когда он будет дан, весь столбец уйдет и центральная строка снова освободится, то есть верхние и нижние столбцы друг другу мешать не будут. Так можно израсходовать все шары, не заполняя доску целиком, то есть у 2 игрока есть выигрышная стратегия.

5. Сложна.


И ты хоть проверяй скопипасченный текст, прежде чем жать на кнопку "добавить". Эти энтеры посреди текста совершенно не упрощают восприятие.

0

Во второй задаче условия не полные, так как вы не написали сколько очков они зарабатывают за выигрыш и проигрыш

0
Иллюстрация к комментарию
раскрыть ветку 1
0
Зачем так изощрённо людей опускать(
0

Зачем это здесь?

Похожие посты
Возможно, вас заинтересуют другие посты по тегам: