442

Как математика спасла жизнь подростку... реальная история !

После вчерашней истории про поиск девушки математическим способом многие как-то не прониклись идеей. Сегодня хочу расказать старую байку, которую наш учитель по математике в гимназии нам рассказал когда мы учили теорию вероятности, что бы мы запомнили, что иногда знание может спасти жизнь !!! Прошу не минусуйте просто так, а сначала прочтите и вникнете в идею.


Тема урока была Теория вероятности: Условная Вероятность по Байесу.


В любом медицинском тесте есть своя погрешность и свои отклонения. Врачи и ученые стараються повысить точность этих тестов, однако 100% пока не достигли. Бывает два типа ошибок. Первая, когда тест показывает отсутствие болезни у больного человека и второй тип, когда тест у здорового человека показывает болезнь. Так вот эту историю-байку наш учитель расказал нам как раз перед решением задач на эти ошибки.


Один молодой парень за компанию пошел с друзями провериться на СПИД после отпуска. Перед этим он с друзьями посмотрел, на тот момент, крайне популярный фильм "ДЕТКИ" (kids) и решил, что главной героине в конце реально не повезло, что она после одного раза заразилась СПИДом в то время как ее подружка спала со всеми парнями и оставалась здоровая. Так вот этот парень тоже решил после своего первого раза сходить и проверитсья... Как уже многие догадались тест показал "HIV+". У парня шок и депрессия. Это и понятно... Врачи сказали, что данный тест крайне точный и погрешность составляет всего 0,1%. Бедный парень захотел свести счеты с жизнью, потому что не представлял, как в свои 15 лет он будет жить с этой болезнью.


Его отец был инженером и подошел к вопросу строго математически и без эмоций. Он выспросил все данные об этом тесте и решил сам посчитать, какова вероятность, что тест оказался неправельным. Как выяснилось, врачи сказали действительно правду....но не всю. Вероятность ошибки теста для здорового человека действительно составляет всего 0,1%. Однако этот же тест у больного человека найдет болезнь только в 99% случаев. То есть у одного больного из 100 тест не найдет ничего. ОК,... зная это он узнал статистику больных СПИДом в Германии на тот момент. Болело по статистике от Института Коха около 70.000 человек. Это значит, что процент больных в Германии был около 0,1%.


А теперь прибегнем к старой доброй математике без эмоций и человечности:


Мы имеем:

Р(б) = 0,1% - процент больных по Германии


Это значит, что в Германии около 99,9% здоровых людей, то есть


Р(з) = 99,9%


Р(Б,+) = 99% - процент диагностики тестом болезни у больных людей


Р(З,+) = 0,1% - процент диагностики тестом болезни у здоровых людей


А теперь используя теорему Байеса находим сколько же людей, признанных тестом больными, действительно таковыми являються:


Р("Б"|Б)


Построим такую диаграмму зависимостей:

Как математика спасла жизнь подростку... реальная история ! Математика, Статистика, Теория вероятности, Спасение, Повезло, Спид, Германия, Длиннопост
Из нее мы можем значения перенести в таблицу:
Как математика спасла жизнь подростку... реальная история ! Математика, Статистика, Теория вероятности, Спасение, Повезло, Спид, Германия, Длиннопост

А теперь возьмем вероятность всех больных признаных таковыми тестом


Р(Б|+) = Р(б) * Р(Б,+) = 0,00099


и поделим на процент всех людей, которых тест признал больными


Р("Б") = Р(б) * Р(Б,+) + Р(з) * Р(З,+) = 0,001989


Получилось около Р("Б"|Б) = 49,77%. То есть из всех людей, которых тест признал больными, почти половина ими не являеться. Это означает, что если тест показал HIV+, то это шанс почти 50/50, что он в данном случае ошибся.


Счастливый отец бежит к сыну и говорит ему, что бы он еще раз прошел этот же тест.


Сын бежит в клинику и проходит тест еще раз. Результат: HIV- !!!!!  УРА УРА...!!! Теперь папа требует пройти этот же тест еще раз и опять результат отрицательный. Папа показывает расчеты и говорит, что теперь шанс на ошибку в тесте уже менее 0,1% а это значит, сын может расслабиться и прекратить думать о самоубийстве !!!


Вот так знание статистики помогло отцу спасти своего сына от смерти.


Мораль: Если вам самим не дай бог предстоит какой то важный медицинский тест и он не дай бог покажет у вас ту или иную болезнь, то не спешите плакать. Даже если врачи говорят, что вероятность ошибки теста крайне мала - они не знают что говорят. Математика на вашей стороне, так что пока не унывайте, а лучше посчитайте какая вероятность правельности у этого теста и пройдите его пару раз, что бы избежать реальной ошибки.


Всем добра !

Дубликаты не найдены

110 комментариев

по актуальности
+131

Как я вижу пост: мальчик сдал анализ и ужаснулся, а папа был инженер и он сказал ..... пшшшшш...... абракадабра.....магия-магия-магия..... занесем абракадабру в табличку..... снова магия и вуаля! Сын скорее всего здоров. Проверили и точно!

раскрыть ветку 21
+24

Многие люди ориентируясь исключительно по интуиции думают что 0,1% на ошибку или выйгрыш или вообще на какой либо шанс - это крайне мало. А на самом деле математика показывает, что не все то, что имеет шанс 0,1% на самом деле такое редкое.

раскрыть ветку 17
+9
Ай, математик, ну как же так? Ну что за "выЙгришь"?
раскрыть ветку 6
-10

@moderator, тег мое явно лишний.


и скорее всего история придумана. Преподом или ОПом неважно.

Математические доказательства неверны, тк строятся на неверных допущениях.

раскрыть ветку 9
ещё комментарии
+2
Гуманитарий?
+2

Я гуманитарий, но суть понимаю примерно так. Процент больных = 0,1%, процент здоровых, ошибочно признанных больными = 0,1%. Так как здоровых почти 100%, значит вероятность признать здорового больным почти равна вероятности признать больного больным, то есть точность приблизительно 50 на 50 (если тест положительный). И теоремы-формулы не нужны)

раскрыть ветку 1
-1
да ты умнее этих математиков! и быстрее)
+14

Любопытная оценка нулевого промилле алкоголя в крови с точки зрения теоремы Байеса

http://trv-science.ru/2013/05/07/skazka-o-trekh-nulyakh/

раскрыть ветку 1
+1
С каких это пор политики и полиция в России отдают себе отчет, что они делают? Думаю теперь, что именно из-за этого в Германии разрешены 0,5 промилле, хотя рекомендуют не больше 0,3. Спасибо за статейку, жаль сразу 2 плюса не могу поставить :)
+29

т.е. он просто прошёл тест несколько раз, чтобы получить более точное усредненное значение? это ж обязательные постулаты всех измерительных тестов, ну нельзя полагаться только на одно измерение :D

раскрыть ветку 5
+4

Здесь не в тесте суть. Пост скорее про теорему, а пример с парнем вообще может быть выдуман и показан только для наглядности того, как работает теорема.)

+7

Речь шла о том, что врачи сказали, что погрешность у этого теста крайне мала и тест очень точный. Это и вогнало парня в депрессию.

раскрыть ветку 3
+17

Уж хз, что там в германии, но у нас после положительного результата все равно положен повторный тест, чтобы исключить ложноположительный результат, причем более точным методом.

раскрыть ветку 1
0

при таких серьезных заболеваниях делают минимум два, а то и три теста.тем более тест на вич,гепатит требуют проходить повторно через месяц и через полгода.так что или парню очень не повезло с врачом,или это котолмповая история.

+17

Я до сих пор не понял почему из тысячи здоровых, у одного неверный диагноз= 50/50, но сейчас не об этом.
Дано:

Тест, который здоровому человеку в 50% случаев говорит что пора вскрываться.

Доктора которые 5+ лет учатся и ещё хрен знает сколько лет там работают
Лёха с завода
Вопрос: почему Лёха с завода высчитал вероятность и сказал сыну, а доктора посоветовали резать вдоль а не поперёк?

раскрыть ветку 5
+3
1.Потому что матстатистика в расчетах и формулах очень сильно отличается от интуитивного обывательского о ней представления
2.Потому что суть истории не в описании тактического поведения при обнаружении у себя опасного вируса, очевидно
+2

Потому что врачи получают статистику от производителя, которая описывает не ту статистику, которую мы воспринимаем субъективно.


Врач знает от изготовителя что:

Тест из 100 больных ошибочно дает диагноз "здоровый" - 1 раз.

Тест из 1000 здоровых только одного ошибочно признает больным.


Это означает, что те погрешности, которые имеет врач ничего не значат для человека, которому поставили диагноз болен, так как такую статистику изготовители не предоставляют и зависит она от конкретной страны. И этот "Лёха" как раз в посте посчитал какая вероятность ошибки будет, если человека, который сам не знает болен он или нет, данный тест признает больным.


Это все разные статистические величины, которые мы субъективно не правильно понимает и трактуем.

-1
На самом деле, врачи сами говорят, что тест нужно проходить дважды в случае, если после первого раза результат теста положительный. Да и к чему что-то там высчитывать, пошел и проверился еще раз. Какой-то туповатый папаша.
раскрыть ветку 2
0
Да это вобще байка перед уроком была :) Я не знаю правда или нет и когда было тоже не знаю :) Учитель говорил, что правда :)
раскрыть ветку 1
+12

Для тех, кто не понял - допустим, что в Германии обследовано 1000 человек, тогда 90 (0.1 от 900 здоровых) будут признаны больными, хотя они здоровы. При этом 100 человек из этой тысячи будут по статистике больны (причем они отличаются от первых 90,т.к те на самом деле не больны). Мы видим, что из 190 больных на бумаге человек, 90 (47%) являются здоровыми. Без всяких формул)

раскрыть ветку 3
0
Все равно не поняла. Видать, это не моё...
Kinder, Kuche, Kirche
0

почему берется 0,1 от 900, это же 10%?

раскрыть ветку 1
0

Ну я взял 10%, а не 0.1%, для простоты расчета. В конце получится то же самое

+9

Понять это можно еще проще, без всяких формул:

* Пусть реально болеет 0.1% населения. Значит если все пройдут этот тест, то почти 100% (ладно, 99%) из них будут объявлены больными. То есть тест положителен на 0.1% населения.

* Пусть вероятность ложного срабатывания теста 0.1%, значит на здоровых людях, а это снова почти 100%, еще 0.1% будут признаны больными.


Итого, больными будут признано 0.1%, которые реально больны, плюс 0.1%, которые здоровы, то есть почти поровну.


Ну или так (приблизительгные цифры):

P(болен|тест показал +) = P(тест показал +|болен) * P(болен) / P(тест показал +)

= 0.99 * 0.1 / 0.2 = 0.5

раскрыть ветку 3
+6
"Без всяких формул" но вы опять написали теорему Байеса, только в другой форме :):):)
раскрыть ветку 1
+3

Во-первых, сначала я объяснил на словах, а потом еще и формулу написал, чтоб уж наверняка.

Во-вторых, это не какая-то другая форма, это прям и есть формула Байеса, просто, на мой взгляд, в более понятной форме.


Я не претендовал на раскрытие каких-то тайн, просто альтернативная формулировка.

0

Как же люди любят для поднятия своего чсв простые вещи расписывать на целый пост. Спасибо за перевод на Русский.

+4

я репетитор по математике, как увидел название поста подумал "как здорово, расскажу эту историю ребяткам". но не тут то было

раскрыть ветку 1
0

И почему нет?

+4

Эти выводы основаны на несуществующем предположении об обследовании всего населения тестом, в то время как на самом деле обследованы лишь те люди, результаты тестов которых  служат настоящей статистикой. Вероятность того, что человек болен, при положительном результате теста равна 99 %, а не 50 %, иначе в чем смысл этого теста? Просто по комментариям складывается ощущение, что люди действительно поверили в то, что тест верен в половине случаев (а значит, это то же самое, что и подкинуть монетку - орел, значит здоров, "орел", решка - болен. Всего лишь логический вывод, как, например, парадокс о том, что нельзя пробежать всю дистанция, если поэтапно преодолевать половину от оставшейся части

раскрыть ветку 6
-1
Вы не правы :) Статистика любит точные приближения :)


По вашей логике блондинка из анекдота тоже права, когда утверждает, что вероятность увидеть динозавра на улице 50% - либо увижу либо нет. :)

раскрыть ветку 5
+1

Это не имеет отношения к моему комментарию, я говорю о другом. Объясните, тогда, для чего нужен тест на спид в Германии, если он имеет точность 50%, то есть он не имеет точности как таковой (прямо как блондинка, говорящая о диновзавре)

раскрыть ветку 3
0

Все, я понял :) Просто я туповат

+5

Либо я плохо вник, либо мне втирают какую-то дичь.

Вероятность ошибки теста для здорового человека действительно составляет всего 0,1%.

Тест показал, что парень болен.

Значит, чтобы парень был здоров, надо чтобы тест наебался и принял здорового за больного, что он делает в 1 случае из 1000.

:(

раскрыть ветку 8
+1
Человеческим языком это примерно так: положительный результат в тесте очень редок (0.1% реально больных и 0.1% ошибок теста). Вероятность того, что получив положительный результат ты действительно болен сравнима с вероятностью ошибки в тесте. Т. Е. Если тест отрицательный - ты с большой вероятностью здоров. А если тест положительный - 50/50,что тествыдал ошибку.
0

Смотрите Пример 4



https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5...



Не люблю википедию, но тут она права...


раскрыть ветку 6
+2

А что с ней не так? Как по мне, статьи по математике в ней весьма неплохо написаны.

раскрыть ветку 5
+2

Ну.... даже прошёл по вашей ссылке и перечитал парадокс теоремы Байеса.

В целом, звучит это примерно так:

Парень, без всяких тестов могу сказать, что у тебя 0,1% вероятность, что ты болен СПИДом.

А, ты сделал тест? И он показал, что ты болен? С точностью 99,9%? Ну, плохие новости для тебя, чувак. Вероятность, что ты болен тогда повышается до 47%, ага.


Просто папаня нашёл положительную сторону во всей этой магии чисел.


Вот тогда эта магическая абра-кадабра понятна становится хоть чуть-чуть.

раскрыть ветку 1
-1
Ка раз таки точность теста в случае парня не 99,9% а именно 49,7% :)


99,9%  это точность "не назвать" здорового больным при условии что он точно здоров. :)

+2

Зря ТС обвиняет врачей в незнании теорвера. В расчетах используется соотношение больные/здоровые, которое меняется от одной местности к другой. А значит для каждой местности будет и свой конечный результат. Для примера возьмите и посчитайте, какая будет эффективность теста в деревне с соотношением больных и здоровых 50/50. У меня получилось примерно 90%. Неплохо, да?


Я думаю, врачи в принципе не имеют права озвучивать такую субъективную цифру.


P.S. Если дело происходит не в Германии (оно вроде так и подразумевается), то непонятно, почему бесстрастный математик-инженер взял статистику Германии. Контраргумент, что данные по своей местности ему недоступны, делает его вычисления бессмысленными.


P.P.S. А вот как отца я его прекрасно понимаю -- это был хороший способ убедить своего сына не натворить делов до повторного теста.

раскрыть ветку 3
-1
Дело было как раз в Германии :) и по этому отец взял статистику СПИДа по Германии :) А у врачей теорвер только в универе, потом на работе все только по тексту и без своих заключений. Так в принципе на всех технических профессиях - в универе много теории и собственных вычислений, а на работе все строго по регламенту и без самодеятельности :)


И я врачей не обвиняю. Просто они говорят только то что им положено.


П.С. Я вообще считаю профессию ВРАЧ самой важной в мире.

раскрыть ветку 2
+1

О, тогда мои возражения по поводу Германии сняты. В любом случае ваш пост получил от меня плюс, уж очень занятную математику вы показали)))


А вот ваша цитата:


Даже если врачи говорят, что вероятность ошибки теста крайне мала - они не знают что говорят.


На мой взгляд, звучит она чересчур категорично. Но это уже мелкие придирки))))

раскрыть ветку 1
+2

Да, самому подобное пришлось на себе испытать, только не спит а гепатит, умеют медики сука страху нагнать иногда

+1

Привет! Приглашаю вас в сообщество Лига образования (http://pikabu.ru/community/education). Ваши посты прекрасно там будут смотреться ;)

раскрыть ветку 2
0
подписался, спасибо за приглашение :)


Если у вас есть премодерация, то прошу вас по возможности исправить ошибки в моих постах перед публикациями :)


Хорошего дня :)

0
Ой.. А я только сейчас заметил что появилась новая панель :)  Как к вам попасть ?
+1

господи,  наконец то понял: вероятность ошибки 0.1% включает в себя то что он не ошибается в определении здоровых, но как только только выдает положительный результат, тут с погрешностью косяк.

спасибо очень интересно, поломал немного голову

раскрыть ветку 1
-1

Пожалуйста. Сам люблю головоломки и парадоксы разбирать. Помогает на работе взглянуть на проблему под разными углами ;)

+1
Ну, так себе спасла.
Сам хотел вскрываться (по странной причине), потом сам передумал.
А мораль - не трахаться направо-налево, имхо ;)
раскрыть ветку 3
-2
Мораль: головой нужно думать всегда и до секса и после и после теста :)
раскрыть ветку 2
+1
Смертельная болезнь - странная причина вскрываться.
Это как казнь за самоубийство.
раскрыть ветку 1
0

Ошибки тестов бывают случайными и систематическими. Случайная ошибка - это когда, например, тест неточно определяет наличие в крови какого-то белка. Систематическая ошибка - это когда, например, белок, характерный для больного, также присутствует и в крови пусть малого, но не нулевого числа здоровых.

Во втором случае, случае систематической ошибки, повторная сдача здоровым человеком одного и того же теста тоже даст ложноположительный результат и лишь укрепит сдающего во мнении, будто бы он болен.

Вывод: не зная, какого рода ошибка у теста, в качестве повторного нужно использовать другой тест, пусть даже и менее надёжный.

0

Вряд ли это реальная история. Это же видоизменённая задачка про рак груди по сути — первая иллюстрация к традиционному объяснению Байеса для чайников.

Тем не менее, действительно мозги неплохо на место ставит.

Только вот ИМХО в посте чуть сложновато описано. В том же "интуитивном объяснении" по-моему получше разжёвано. Хотя это конечно субъективно

0

Сорян, но вы смешали мелкое с мягким.

Я даже представить себе не смогу на сколько точный тогда получается тест на оспу.

0

теперь правела русского языка остались)

раскрыть ветку 1
-1
Русский не родной, так что знаю что не совсем грамотно пишу :)
0
Вот смотри ошибка. В вычислениях исходят из того, что в выборке людей на которых апробировался тест было в среднем 0.1% больных людей. Тогда и тест покажет 50% вероятность. Проверили 100 больных - 1 здоров, 99 больных (реально все больные). Проверили 99900 здоровых людей - 99800.1 человека здоровые и 99.9 больные (реально все здоровые). 99 делить на 99 + 99.9 и вот его 49.77%. Хотя показатели изначальные 99.9% и 0.1% были выявлены на выборках, где все 100% были либо здоровы либо больны (По крайней мере так написано исходя из условий задачи). А значит здесь ошибка в вычислениях.
раскрыть ветку 4
-1

Ставим теорему под сомнение? ;)

раскрыть ветку 3
0
Ее неправильно применили
раскрыть ветку 2
0
А зачем так всё усложнять? Что без математических расчетов повторный тест трудно догадаться сделать было?
Они же мужики, в отличие от моей жены, которая при беременности (желанной) три теста делала )))
0

Может просто не стоит спать с кем попало? Животные

ещё комментарии
0

Ржунемогу! Опять тебе респект! Да ты мне день сделал! ;)))))))


п.с. Анекдот ответным подарком.

"В 85 лет на одного мужчину приходится 7 женщин. Но это слишком поздно! Увы!"

0

Все можно свести к двум постулатам - что бы найти себе девушку надо больше ходить на свидания, что бы получить точный результат измерения нужно повторять. Вещи настолько очевидные, что необязательно быть инженером дабы их понять и применять.

раскрыть ветку 6
+2

Сведение к этим двум постулатам оставляет в стороне восхитительную математическую идею о том, что с условными вероятностями нужно обращаться осторожно, и что вот этот один процент - не та вероятность, о которой большинство бы подумало.

раскрыть ветку 1
0
Совершенно точно !
0
Но чем больше ходишь на свидания, тем больше вероятность что тест покажет HIV+.
0

Если бы всё было ТАК просто, то после постулата



"Чтобы разбогатеть - нужно много зарабатывать"



на земле было бы уже 7 миллиардов богачей, однако не все так просто.



Нужно знать что как и когда делать, а для этого и есть такие шняги как математика ;)


раскрыть ветку 2
+2

Математика это круто, спору нет но как возможны математические суждения априори? Это еще Кант написал, что математика сама по себе без эмпирического опыта бесполезна. Так что это не математика, а жизненный опыт описанный языком математики.

раскрыть ветку 1
-1
являються
являеться

...

-3

На самом деле вероятность - 50% либо болен - либо нет)

раскрыть ветку 4
+1

вероятность встретить динозавра в центре мегаполиса тоже 50%, да?

раскрыть ветку 1
0

ну где то так)

-2
Вы ещё скажите "на все воля божья" :)
раскрыть ветку 1
0

"упаси бог" такое сказать)

Похожие посты
Похожие посты закончились. Возможно, вас заинтересуют другие посты по тегам: