Что-то тут нечисто
P.S. Может оказаться баяном, но вроде не встречал на сайте.
P.S. Может оказаться баяном, но вроде не встречал на сайте.
Раз уж ты оперируешь мнимой единицей, будь добр указывать всё множество корней из комплексного числа.
Я не успел отредактировать комментарий, так что напишу так.
Если кому интересно, здесь ошибка в переходе (-1)^(1/2)=root4((-1)^2)
Суть в том, что у первого выражения множество из двух ответов, а у второго - из четырёх.
Корректный переход мог бы быть (-1)^(1/2)=(root4(-1))^2
Я вижу, что тождество нарушено на этапе (-1)^(2/4) = sqrt4((-1)^2), но не могу формально объяснить, в чем ошибка. Указывая изменение числа корней, вы констатируете ошибку, а не объясняете ее.
Хорошо, тогда так: порядок действий в (-1)^(2/4) не определён, можно сначала взять квадрат, а потом корень, а можно сначала корень, потом квадрат. В первом случае будет не равенство, а включение множества, во втором случае множество решений не изменится.
Я вижу. Но как формально объяснить, что выражение a^(b/c) можно раскрывать как a^(1/c)^b, но нельзя a^b^(1/c)? Какое правило символьных преобразований я нарушу?
Если мне маразм не изменяет, по определению рациональный показатель степени раскрывается как a^(b/c) = (a^(1/c))^b. А раскрытие в другом порядке допустимо, только если дробь несократима.
Определение принято таким, потому что только в этом случае количество корней не изменится независимо от того, была ли сначала сокращена дробь, или дробная степень была представлена в виде степени корня.
Не, вру. То определение для вещественных положительных чисел a. По определению для комплексных чисел a^b = e^(b*lna). Таким образом, a^(b/c) =e^(b/c*lna) = e^(b/c*(Lna+2πin)) = e^(b/c*Lna+b/c*2πin)). То есть, чтобы найти количество значений этого выражения, нужно найти количество различных значений числа bn/c по модулю 1, где n∈ℤ. Если обозначить b=kp, c=kq, где k=НОД(b,c), получим q значений.
Если мы хотим это сравнить с (a^b)^(1/c), то должны раскрыть это по тому же правилу: (a^b)^(1/c) = e^(1/c*ln(a^b)) = e^(1/c*ln(e^(b*lna))) = e^(1/c*(Ln(e^(b*lna))+2πin)) = e^(1/c*(b*lna+2πin)) = e^(1/c*(b*(Lna+2πim)+2πin)) = e^(1/c*b*(Lna+2πim)+1/c*2πin) = e^(b/c*Lna+b/c*2πim+1/c*2πin) = e^(b/c*Lna+1/c*2πi(b*m+n)). Здесь аналогично: нужно найти количество различных значений числа (bm+n)/c по модулю 1, где n,m∈ℤ. Однако здесь уже числитель - это произвольное целое, а не кратное b, как было выше. Значит, количество значений равно c.
Можно расписать еще (a^(1/c))^b, чтобы убедиться. (a^(1/c))^b = e^(b*ln(a^(1/c))) = e^(b*ln(e^(1/c*lna))) = e^(b*(Ln(e^(1/c*lna))+2πin)) =
e^(b*(1/c*lna+2πin)) = e^(b*(1/c*(Lna+2πim)+2πin)) = e^(b/c*(Lna+2πim)+b*2πin) = e^(b/c*Lna+b/c*2πim+b*2πin) = e^(b/c*Lna+b*2πi(1/c*m+n)). Здесь это число b(1/c*m+n) = b(m+cn)/c, n,m∈ℤ. Здесь так же можно сократить b и c, и получить q=c/НОД(b,c) значений.
Впрочем, как и ожидалось, результат тот же. Но доказал по правильному определению и более строго, что a^(b/c) = (a^(1/c))^b ≠ (a^b)^(1/c) для a∈ℂ, b∈ℕ, c∈ℤ.