В русском слово спасибо, как известно, происходит от древнерусского *съпаси богъ. Хотя прямо это словосочетание не фиксируется в текстах, оно скорее всего и было основой для нашего слова, а также для украинского спасибi. Староверы стараются не произносить слово спасибо, так как считают, что оно восходит к спаси бай (бай - название языческого бога). Есть у нас хорошая замена - благодарю. В ряде языков для выражения благодарности используется личная форма глагола со значением "благодарить". Например, по-болгарски это будет благодаря́ (это форма первого лица единственного числа и одновременно начальная форма слова, ибо инфинитива в болгарском нет). Аналогично в македонском - благо́дарам. Здесь более чем прозрачная этимология: благодарю - значит "благо дарю".
По-сербски "спасибо" будет хва́ла, по-хорватски и по-словенски - hvála. Также используется слово фа́ла. Здесь очевидна связь с русскими словами хвала, хвалить. В западнославянских языках слово "спасибо" имеет уже совсем иной вид: по-польски это будет dziękuję (форма глагола dziękować), по-чешски - děkuji (от děkovat), по-словацки - ďakujem (от ďakovať). Отсюда же украинское дякую (форма глагола дякувати), белорусское дзякую, дзякуй (от дзякаваць). Эти слова имеют германские корни, точнее - немецкие.
В германских языках слова со значением "спасибо" происходят от прагерманского *þankaz "мысль; размышление; благодарность" или *þankōną "благодарить". Сюда относятся английское thanks, thank you (глагол thank), немецкое danke (danken), нидерландское dank je/u (danken), шведское tack (tacka), норвежское takk (takke) и датское tak (takke). Исландское takk заимствовано из датского, хотя у исландцев имеется свой глагол из того же древнего источника - þakka. Слова *þankaz, *þankōną, а также *þankijaną "думать" (сюда относятся английское think "думать", немецкое denken "думать" и др.) далее восходят к праиндоевропейской основе *teng- "думать, чувствовать", от которой в латинском языке происходит глагол tongeō "знать".
Теперь о романских языках... Древние римляне использовали довольно много выражений, которыми можно было поблагодарить. Например, очень известно выражение benignē dīcis, которое дословно переводится "ты любезно говоришь". Существовало также выражение grātiās (tibi, vōbīs) agō. Слово gratiās (форма винительного падежа множественного числа от grātia "приятность; милость, благосклонность; дружба; благодарность") нередко одно использовалось в неформальной речи как аналог нашего "спасибо". От него в испанском языке появилось слово gracias, а в итальянском - grazie.
Иная семантика у слов со значением "спасибо" в португальском, французском и румынском. Португальское obrigado - это ни что иное как "мутация" латинского причастия obligātus "обязанный; признательный", от глагола obligō "связывать; обязывать". Румынское mulțumesc - это форма глагола mulțumi "благодарить". Оно связано с фразой la mulți ani "на много лет", которую используют в поздравлениях. Наконец, французское merci происходит от латинского mercēs "плата, вознаграждение". Оно само было заимствовано во многие языки и используется как "заменитель" слова "спасибо": русское мерси, румынское mersi, каталанское merci, турецкое mersi, армянское մերսի (mersi), арабское مرسى (mersī), персидское مرسی (mersi) и др.
Заметно наследило арабское слово شكرا (šukran), где корень ش ك ر (š-k-r) имеет "благодарственную" семантику (ему родственно ивритское שכר (sakhár) "вознаграждение"). Из арабского происходит слово shukrani в языке суахили. От формы تشكر (tašakkur) происходит турецкое teşekkür в выражениях teşekkür ederim или teşekkürler (форма множественного числа). Отсюда же азербайджанское təşəkkür, təşəkkür edirəm, узбекское tashakkur, таджикское ташаккур. Всё же чаще в тюркоязычном регионе встречаются слова от арабского رحمة (raḥma) "милость, милосердие": башкирское и татарское рәхмәт, казахское рахмет, рақмет, киргизское рахмат, ыракмат, узбекское rahmat, уйгурское رەھمەت (rehmet).
Через персидское посредство из арабского происходят शुक्रिया (śukriyā) в хинди, شکریہ (śukriya) в урду, ਸ਼ੁਕਰੀਆ (śukrīā) в панджаби, ޝުކުރިއްޔާ (šukuriyā) в мальдивском. Вообще в хинди, как и в других языках Индии, имеется своё исконное слово धन्यवाद (dhanyavād), которое более характерно для речи немусульманского населения. По сути сложение санскритских слов धन्य (dhanya) "благоприятный, благословенный" и वाद (vāda) "речь". В бенгальском оно имеет вид ধন্যবাদ (dhônnôbad), в непали - धन्यवाद (dhanyawāda), в гуджарати - ધન્યવાદ (dhanyavād), в ория - ଧନ୍ୟବାଦ୍ (dhônyôbad), в каннада - ಧನ್ಯವಾದ (dhanyavāda), в телугу - ధన్యవాదాలు (dhanyavādālu). Однако своё собственное слово நன்றி (naṉṟi) обнаруживается в самом южном дравидийском языке Индии - тамильском. На Шри-Ланке, где проживают преимущественно сингалы, встречаются слова ඉස්තුති (istuti) и ස්තුති (stuti).
Самое известное китайское "спасибо" - это 謝謝/谢谢 (xièxie). Тут имеет место удвоение иероглифа 謝/谢 (xiè) "благодарить; благодарность". Существуют и другие варианты: 感謝/感谢 (gǎnxiè), 多謝/多谢 (duōxiè) (дословно: "большое спасибо"). В сленге имеется подражательное английскому thank you выражение 三Q (sān kiù). Велико разнообразие вариантов в китайских диалектах.
Японское ありがとう (arigatō) в классический период произносилось /arigataku/ и было образовано от прилагательного /arigatashi/ "благодарный" (современное ありがたい (arigatai) "благодарный"). Весьма любопытна внутренняя форма слова. В нём выделяются корни /ari/ (соединительная форма глагола 有る (aru) "быть, существовать") и /katashi/ "трудный, тяжёлый" (в современном языке - 難い (katai)). Таким образом, то, что теперь означает "благодарный", ранее означало "трудно жить". Изменение начального /k/ в /g/ объясняется эффектом рэндаку (озвончение глухого согласного в начале корня при наличии перед ним другого корня или приставки). Выпадение /k/ в последнем слоге /ku/ - известное фонетическое явление, происходящее в результате велярной элизии в период Муромати. Выходит, такая цепочка: /ariɡataku/ превращается в /ariɡatau/, далее дифтонг становится долгим /oː/, получается современное /ariɡatoː/.
Модели образования слов со значением "спасибо" могут быть очень похожими в ряде языков. К примеру, эстонское aitäh - множественное стяжение, от aituma, далее от aita "помощь" и jumal "бог". Это уже очень напоминает процесс, который произошёл с русским словом спасибо. Похожим образом могло появиться латышское paldies (palīdz Dievs).
В ряде случаев можно усматривать сходства в семантике. Греческое ευχαριστώ происходит от древнегреческого εὐχαριστέω "благодарить", от εὐχάριστος "благодарный", от εὐ- и χάρις "изящество, красота; слава; благосклонность, любезность; благодарность". Грузинское მადლობა (madloba) происходит от მადლი (madli) "благодать, милосердие". Армянское շնորհակալություն (šnorhakalutʿyun) происходит от прилагательного շնորհակալ (šnorhakal) "благодарный", а последнее в свою очередь обнаруживает в своём составе շնորհ (šnorh) "милость, благосклонность". Отдалённо напоминает случаи с латинским grātia или арабским رحمة (raḥma).
Происхождение некоторых слов со значением "спасибо" остаётся неясным. К примеру, литовское ačiū не имеет достоверной этимологии, хотя существует масса предположений на этот счёт, в том числе и "народные" толкования. Известны похожие диалектные слова в белорусском и польском, но они происходят из литовского, а не наоборот. Вероятно, в этом слове происходили нерегулярные фонетические изменения, подобные тем, что мы наблюдали в русском слове спасибо. С литовскими словами dėkoju, dėkui, конечно, всё гораздо проще.