Математика и реальность музыкальных инструментов.⁠⁠

Когда я только узнал о том, что в основе музыки лежит математика, я на некоторое время уверовал в то, что больше знать о ней ничего не нужно. Я думал, что можно сгенерировать несколько синусоид, наложить друг на друга, пустить на динамик и оттуда польётся красивейший звук. Но когда я попробовал так сделать, меня ждало разочарование. Из колонок доносился звук, похожий на гудок в трубке телефона. В общем, в этом посте я хочу рассказать о том, как идеально всё в теории и как не идеально на практике.

Начнём с основ. Музыкой мы обычно называем особую последовательность акустических сигналов у которых слуховая система может определить тональность. Для этого сигнал должен состоять из частот, кратных (находящихся в отношении 2, 3, 4 … ) самой низкой - несущей частоте, которая и будет восприниматься как тон звука. Такие кратные частоты называются гармониками. Гармоники являются частным случаем обертонов (частот, более высоких, чем основная). Когда частоты обертонов существенно отличаются от гармоник, слуховая система не может определить тональность и звук воспринимается как довольно неприятный шум.

Таким образом спектр (идеального) музыкального инструмента = основная частота + гармоники

Спектр - это хорошо, но на практике важен тембр музыкального инструмента. Тембр - это такое магическое слово, которое, по сути, включает в себя все различимые особенности звучания инструмента, коих огромное множество.

Можно подумать, что основной особенностью тембра является спектр, но это не так, как ни странно, если обрезать у разных инструментов начальную и конечную фазы и оставить только тот промежуток, где они звучат равномерно, в большинстве случаев вы не сможете угадать что за инструмент вы слышите. Из чего не сложно догадаться, что важен не сам спектр, а изменение его составляющих во времени. Так, моменты развёртывания отдельных обертонов могут значительно различаться по времени.

Хорошо, мы очень старались и составили закон изменения громкости отдельных гармоник во времени (хотя это трудновыполнимо и заслуживает отдельной статьи). У нас получился тембр? Абсолютно точно нет. Слуховая система очень привередлива и ей нужно, чтобы в звук так же входили шумы, особым образом связанные с основным звуком. Например, когда флейтист дует в инструмент, струя воздуха рассекается о заострённый барьер и образует турбулентность с множеством завихрений , которые издают шипящий шум. Мы обычно не замечаем этот звук, но стоит убрать его, как мозг поймёт, что его обманывают и начнёт протестовать.

Добавили шум. Появляется другая проблема - характеристика направленности различных частот. Так, например, низкие частоты расходятся во все стороны, огибают препятствия, поэтому всегда идут к слушателю напрямую и приходят первыми, в то время как высокие частоты напоминают свет прожектора и у многих духовых инструментов через дырки идут прямо в потолок и только потом с серьёзным запозданием и большим количеством самоповторений доходят до слушателя.

Ещё одна особенность заключается в том, что реальные инструменты на самом деле не всегда гармоничны. Например, чем толще и короче струна, тем сильнее обертона её отклоняются от гармоник. У басовых струн фортепиано это довольно ощутимо. У гитары на негармоничность влияют крутильные колебания струн - чем дольше звучит струна, тем менее гармонично. У духовых инструментов резонатором является воздушный столб и с повышением/понижением температуры воздуха частоты основного тона и гармоник так же сдвигаются. У ударных (типа барабанов и тарелок) нет гармоник вообще (просто к слову). У колоколов говорят о виртуальном тоне (там вообще всё сложно). У ударных типа ксилофона и ему подобных, где используется брусок, оказывается, что брусок сам по себе не может звучать гармонично, поэтому его вытачивают до формы арки и часто снабжают трубкой-резонатором, которая усиливает гармоники.

Я перечислил самые очевидные особенности реальных музыкальных инструментов, на самом деле их гораздо больше. Неправда ли сложно? Оказывается, что идеальные чистые соотношения частот нам не нравятся. Нам нравятся звуки, которые близки к математическому идеалу гармоник, но не являются им. Периодичны, но только в некоторой степени. Детерминированы, но только частично, они также имеют некоторую случайную составляющую. Возможно, это очень типично для человека вообще.