И снова про пенопласт и гвозди.⁠⁠

Написал тут надысь коротенький пост про то, как забавно выходит - если учесть, что мы находимся в атмосфере и на все действует архимедова сила, то на старый детсадовский вопрос на самом деле правильный ответ - это что килограмм гвоздей все-таки весит чуть больше, чем килограмм пенопласта. Но вот только я не разжевал всё и не разложил по полочкам. Похоже, что лучше объяснить подробнее.

Килограмм - это единица измерения массы. Масса - это очень хорошая, годная скалярная (т.е. не имеющая направления) фундаментальная величина, которая не зависит от внешних условий (я, разумеется, опускаю релятивистские эффекты на околосветовых скоростях). Масса предмета не изменится ни на полюсе, ни на экваторе, ни в вакууме, ни на космической орбите, ни под водой. Главная проблемма с массой - это что ее не так просто измерить напрямую. Зато очень просто измерить другую величину, тесно связанную с массой - вес.

Вообще-то вес - это, как мы помним из школы, сила, с которой тело давит на опору или подвес. Так что вес, как и любая другая сила, во-первых, величина векторная (т.е. направлена в какую-то сторону), а во-вторых, измеряется на самом деле вовсе не в кг, а в единицах силы (ньютонах). Как мы помним, масса предмета не зависит от внешних условий, а вот вес - зависит. В этом легко убедится на опыте: возьмите кирпич и положите на пружинные весы. А теперь сделайте то же самое под водой, на дне ванны - тот же самый кирпич покажет меньший вес. Или поезжайте на экватор - вес тоже чуть-чуть уменьшится, а вот на полюсе наоборот - увеличится. Прихватите те же самые весы и киприч, когда будете прыгать с парашютом и проведите взвешивание в свободном падении - и (внезапно!) вес кирпича окажется нулевым. А теперь заберитесь на центрифугу для тренировки космонавтов и раскрутитесь как следует - опа, а вес-то стал вдвое больше. Когда Маск построит марсианскую базу, на ней те же самые весы покажут вес почти втрое меньше...

По счастью, нормальные люди такой фигнёй не страдают, и проводят взвешивание в состоянии покоя и на твердой земле, а не под водой там или в космосе. А тут уже вес становится пропорциональным массе, так что достаточно на шкале весов вместо ньютонов нарисовать граммы и отрегулировать (откалибровать) их, как их можно использовать для определения массы - так? Ну почти.

Если весы стоят спокойно и никто их никуда не двигает не толкает и не дует на них воздухом, то их показания (т.е. вес) определяются суммой трех сил:

1 - сила гравитационного притяжения Земли Fг = G*M*m/R^2,

где G – это гравитационная постоянная, M – масса Земли, m – масса предмета, R - расстояние от предмета до центра масс Земли.

2 - центробежная сила, возникающая из-за вращения Земли Fц = m*w^2*Ro,

где w - угловая скорость вращения Земли, а Ro - это расстояние от предмета до оси вращения Земли.

Эти две силы в сумме называют силой тяжести. На экваторе R = Ro и две силы строго противоположны. На всех остальных широтах центробежная сила постепенно уменьшается, пока не становится равной нулю на полюсе (Ro = 0). Кроме того, первые две силы направлены строго противоположно только на экваторе, а на всех остальных широтах складывать их надо как векторы, учитывая угол между ними. Так что если вы не на экваторе, то строительный отвес показывает не точно к центру Земли, а чуть-чуть в сторону.

Но самое главное, что если мы проводим сравнительное взвешивание наших гвоздей и пенопласта на рычажных весах в одном и том же месте Земли (при прочих равных условиях), то первые две силы пропорциональны только массе предметов, так что вес кило гвоздей и кило пенопласта все-таки одинаковый? А вот и нет, так как есть еще и третья сила:

3 - сила Архимеда. Так как мы все погружены в газ (воздух), то на нас действует выталкивающая сила Архимеда, равная Fа = ρ*g*V, где ρ - плотность воздуха, g - ускорение свободного падения, а V - объем предмета. Вуаля, архимедова сила не зависит от массы предмета, а только от его объема! Так как объем килограмма пенопласта во много раз больше, чем килограмма гвоздей, то на пенопласт действует архимедова сила во много раз большая, чем на гвозди. Архимедова сила направлена противоположно силе тяжести, так что она вычитается из веса - поэтому килограмм пенопласта весит все-таки меньше.

Велика ли разница? Самый плотный хардкорный пенопласт марки ПСБ-С 50 имеет плотность 50 кг/м3, плотность воздуха - примерно 1.225 кг/м3, а плотность железа 7874 кг/м3. Нетрудно подсчитать, что разница в весе по шкале весов составит минимум 2.45 грамма на кило(!). Хотя это всего 0.2% абсолютной погрешности, такую разницу легко измерить даже на китайских кухонных электронных весах, тут не нужны сверхточные лабораторные весы.

Ну и небольшой FAQ под конец:

Q: Но ведь в вакууме разницы не будет?

A: Совершенно верно. В вакууме нет силы Архимеда, и рычажные весы в вакуумной камере, где на одной чаше килограммовая железная гиря, а на другой - кило пенопласта, будут в равновесии. Если в камеру запустить воздух, то чаша весов с пенопластом поднимется вверх, а чаша с железной гирей опустится.

Q: Получается, что любые весы врут?

A: Все зависит от того, как они откалиброваны и что взвешивать. Если они откалиброваны с помощью железных гирь, то они будут показывать точный вес для железных гвоздей или гаек. Для менее плотных предметов (например, мяса) они будут показывать чуть-чуть меньше граммов, чем на самом деле. А для пенопласта будут показывать уже заметно меньше настоящей массы. Для более плотных предметов (например, для золотых изделий) весы будут показывать чуть-чуть больше реальной массы.

Q: Но ведь если я кладу кусок пенопласта на точные весы, и они показывают 1000.0 г - это же и есть 1 килограмм, разве нет?

A: Нет, на самом деле в данном случае весы ошибаются, и в вашем куске примерно 1002.5 г

Q: А когда взвешивают, например, слитки золота, то этот эффект учитывают?

A: Хороший вопрос. Я не знаю, как именно калибруют весы, на которых их взвешивают, но подозреваю, что этот эффект не учитывают. Впрочем, чем больше плотность, тем меньше будет вклад сил Архимеда, так что для золота эффект ничтожный. Если эталонные гири были железными, то в "килограммовом" по таким весам слитке золота будет на самом деле 999.908 грамм. Но козырные эталонные гири изготавливают из платино-иридиевого сплава, так что для золота погрешность будет еще меньше.

Q: А как же в экспериментальной науке? Там ведь нужно знать вес точно?

A: Я сам экспериментатор, и когда мы на практике пользуемся лабораторными весами, то обычно такими ничтожными погрешностями все пренебрегают. В специальных экспериментах типа международного "проекта Авогадро", когда вся суть в абсолютном измерении массы с минимальной погрешностью, этот эффект, разумеется, принимают в рассчет: свои сверхточные кремниевые сферы они взвешивали в вакууме.